Инженерная и компьютерная графика Позиционные задачи Метрические задачи Решение пространственных задач Построить пересечение конуса и призмы Выполнения заданий контрольной работы

Примеры решения задач контрольной работы по начерталке

Метрические задачи

Задачи, в которых решаются вопросы измерения отрезков и углов, определения натуральной формы плоских фигур и т.п., называются метрическими.

При решении этих задач необходимо знать условия перпендикулярности прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей. Для выяснения этих условий требуется изучить свойства ортогональной проекции прямого угла.

Здесь могут быть два случая.

1. Если две стороны любого линейного угла (в том числе прямого) параллельны некоторой плоскости проекций, то на эту плоскость он проецируется без искажения (рисунок 13-1). Если АВ//П' и ВС//П', то ÐАВС=ÐА'В'С', как углы с соответственно параллельными сторонами: АВ//А'В' и BC//B'C'.

2. Если одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в виде прямого угла (рисунок 13-2). Докажем это.

Дано:ÐАВС=90°, .АВ//П', ВС#П'. Требуется доказать: ÐА'В'С'=90°.


 

Из условия ортогонального (прямоугольного) проецирования ВВ^П', а так как АВ//П', то ÐAВВ'=90°. Отсюда следует, что прямая AB^BВ' и ВС, которые лежат в проецирующей плоскости ВСС'В' и, следовательно, прямая A B^BСС'В'.

Но так как АВ//А'В', то и A'B'^ВСС'В'. Следовательно, А'В'^В'С', т.е.ÐA'B'С'=90º

Прямая линия по отношению к плоскости может занимать следующие положения: принадлежать плоскости; быть параллельной данной плоскости; пересекать эту плоскость.

Пересечение прямой с поверхностью (многогранной и кривой). Снова рассмотрим несколько типов задач.

Параллельность плоскостей Если две плоскости параллельны, то всегда в каждой из них можно построить по две пересекающиеся прямые линии так, чтобы прямые одной плоскости были соответственно параллельны двум прямым другой плоскости

Пересечение плоскости и поверхности, определение натуры сечения Плоские сечения многогранных и кривых поверхностей представляют собой замкнутые фигуры.

Пересечение многогранников

Линия пересечения двух поверхностей, называемая линией перехода, это такая линия, все точки которой одновременно принадлежат обеим поверхностям. В общем случае она представляет собой пространственную кривую или ломаную линию (при пересечении многогранных поверхностей), которая может распадаться на две или более частей. В отдельных случаях эти части могут быть плоскими кривыми или многоугольниками.

Пример. Построить линию пересечения полуцилиндра конусом вращения. На виде спереди линия пересечения уже имеется - она совпадает с вырожденным видом полуцилиндра и находится в пределах площади наложения обеих поверхностей.

Способ концентрических сфер Предварительно скажем несколько слов о пересечении соосных поверхностей, т.е. поверхностей, имеющих общую ось вращения.

Рассмотренные свойства ортогональной проекции прямого угла распространяются как на угол между пересекающимися прямыми, так и на угол между взаимно-перпендикулярными скрещивающимися прямыми.

Для суждения о перпендикулярности скрещивающихся прямых нужно через произвольно взятую точку пространства провести прямые, параллельные скрещивающимся прямым и по углу между этими прямыми делать вывод о взаимном положении данных скрещивающихся прямых.

< Итак: две взаимно-перпендикулярные прямые (пересекающиеся или скрещивающиеся) сохраняют свою перпендикулярность на комплексном чертеже только в том случае, если одна из них является линией уровня (горизонталью, фронталью), а другая не перпендикулярна плоскостям проекций (рисунок 13-3).

Рассмотрим ряд примеров на применение свойств ортогональной проекции прямого угла.


Пример 1.Определить расстояние от точки А до горизонтали h (рисунок 13-4).

 Расстояние от точки до прямой определяется перпендикуляром, опущенным из этой точки на прямую.

Горизонталь является одной из сторон прямого угла и, следовательно, прямой угол с ней будет сохраняться на виде сверху.

Решение начинаем с вида сверху. Построим здесь перпендикуляр к горизонтали, а затем на виде спереди, определяем его истинную величину (способом прямоугольного треугольника).

Пример 2. Через точку А провести прямую перпендикулярно фронтальной прямой f (рисунок 13-5).

Прямой угол с фронталью сохраняется на виде спереди, поэтому проводим на этом виде прямую n.

На виде сверху прямая n проводится произвольно, т.к. через точку в пространстве можно провести множество прямых перпендикулярных данной прямой.

 

 

Пример 3. Определить расстояние между параллельными горизонталями h1 и h2 (рисунок 13-6).

На виде сверху проводим общий перпендикуляр АВ к данным прямым.

Строим его на виде спереди, а затем определяем истинную величину отрезка АВ.

 

 

 

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ПЛОСКОСТЕЙ

34.1 Перпендикулярность прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна ко всякой прямой этой плоскости (рисунок 13-7а). На комплексном чертеже перпендикулярность будет сохраняться:

на виде спереди только с фронталью (рисунок 13-7б);

на виде сверху только с горизонталью этой плоскости.

Следовательно, если прямая n перпендикулярна плоскости, то на виде сверху она перпендикулярна к горизонтали (n^h), а на виде спереди к фронтали (n^f) этой плоскости.

Справедливо и обратное утверждение: если проекции прямой перпендикулярны одноимённым проекциям соответствующих линий уровня, то такая .прямая перпендикулярна этой плоскости.

Если прямая перпендикулярна к плоскости частного положения, то прямой угол с вырожденной проекцией сохраняется. Перпендикулярная прямая в этом случае является прямой уровня и, следовательно, проецируется без искажения на том виде, где прямой угол сохраняется.

Рассмотрим примеры построения прямой, перпендикулярной к плоскости и плоскости, перпендикулярной к прямой.

Пример 4. Определить расстояние от т. А до наклонной плоскости Б (рисунок 13-8).

Расстояние от точки до плоскости измеряется перпендикуляром, опущенным из точки на данную плоскость.

На виде спереди опускаем перпендикуляр из т. А на плоскость Б.

Это будет натуральная величина расстояния. На виде сверху прямая АК перпендикулярна линиям связи.

Пример 5. Определить расстояние от т. А до плоскости общего положения Б(a//b), (рисунок 13-9).

Проводим в плоскости Б произвольные горизонталь h и фронталь f.

Строим нормаль к плоскости Б, для чего на виде спереди проводим прямую n перпендикулярно к фронтали f, а на виде сверху перпендикулярно горизонтали h.

Определяем точку пересечения К прямой n с плоскостью Б, для чего строим на плоскости прямую t горизонтально-конкурирующую с прямой n.

Способом прямоугольного треугольника определяем натуральную величину перпендикуляра АК.

Пример 6. Через т.А провести плоскость Д, перпендикулярную прямой общего положения l (рисунок 13-10).

Плоскость Д задаем главными линиями этой плоскости -горизонталью и фронталью. Проводим их через т.А таким образом, чтобы они были перпендикулярны заданной прямой: горизонталь на виде сверху, фронталь - на виде спереди.

Полученная плоскость Д(h∩f) будет перпендикулярна прямой l.

 

 

34.2 Перпендикулярность плоскостей

Две плоскости перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Но через прямую линию (перпендикуляр) в пространстве можно провести множество плоскостей перпендикулярных данной.


Пример 7. Провести через т.А плоскость Б, перпендикулярную заданной плоскости Д(а//b), (рисунок 13-11).

Сначала проведем через т.А прямую n перпендикулярно плоскости Д, для чего на ней предварительно проводим горизонталь и фронталь.

Затем через т.А проводим произвольную прямую l.

Эти две прямые n и l задают одну из плоскостей перпендикулярных плоскости Д.


Пример 8. Определить, перпендикулярны ли данные плоскости Б(а//b)и Д(f∩h), (рисунок 13-12).

Из точки пересечения горизонтали h и фронтали f проводим прямую n перпендикулярно плоскости Б.

Проверим принадлежность прямой n плоскости Б. Если плоскости перпендикулярны, то нормаль n будет либо принадлежать, либо будет параллельна плоскости Б.

В нашем случае прямая n не принадлежит и не параллельна этой плоскости (о чем можно судить по расположению проекций n и t на видах), следовательно плоскость Б не перпендикулярна плоскости Д.


Пример 9. Через прямую l провести плоскость Д перпендикулярно плоскости Б (А, b) (рисунок 13-13).

На прямой l берем произвольную точку М и через неё проводим прямую n перпендикулярно плоскости Б. Пересекающиеся прямые l и n задают искомую плоскость.

 

 

 

 

 

 

 

 

 


На главную страницу. Контрольная по графике