Задачи по математике. Тема производная

Частные производные

Производная сложной функции Пусть координаты $ x_1,x_2,x_3$ зависят от $ u_1,u_2$ следующим образом: $\displaystyle x_1=\sin^2u_1; x_2=\sin u_1\cos u_2; x_3=\cos^2u_2.$

Рациональные функции и их интегрирование Разделим с остатком $ {P(x)=x^3+5x^2-2x+1}$  -- многочлен третьей степени -- на бином $ {Q(x)=x-2}$  -- многочлен первой степени:

Определение первообразной и её свойства Рассмотрим функцию $ f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}$ на объединении двух интервалов .

Производные некоторых элементарных функций Найдём производную функции $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^2\sin\dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\
0,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.
$

Производная композиции Пусть $ y=\sin2x$, то есть $ y=\sin u$, где $ u=2x$: данная функция представлена в виде композиции функций $ \sin u$ и $ 2x$.

Производные высших порядков Рассмотрим функцию $ y=f(x)=\sin x$.

Производные функции, заданной параметрически Пусть зависимость между $ x$ и $ y$ задана параметрически следующими формулами: $\displaystyle x=\ln(1+t^2); y=\mathop{\rm arctg}\nolimits t.$

Производная функции, заданной неявно Возьмём то же уравнение $ e^{xy}+x\cos y=0$ и найдём производную левой части

Найдём производную функции $ y=\cos(2x+dfrac{\pi}{4})$

Четыре теоремы о дифференцируемых функциях Функция $ f(x)=x^2$ имеет на отрезке $ [-1;1]$ точку минимума $ x_0=0$

Найдём предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}$.

Найдём производную функции $ f(x)=\sqrt{x}$ в точке $ x>0$. Преобразуем приращение функции следующим образом:

Производная обратной функции Пусть $ f(x)$ -- непрерывная функция, монотонная на интервале $ (a;b)$.

Дифференциальное исчисление Если функция $ f(x)$ дифференцируема при всех $ x\in(a;b)$, то мы можем рассмотреть функцию $ f':(a;b)\to\mathbb{R}$, сопоставляющую каждой точке $ x$ значение производной $ f'(x)$.

Дифференциал функции Пусть задана зависимость двух переменных $ x$ и $ y$ от параметра $ t$, изменяющегося в пределах от $ {\alpha}$ до $ {\beta}$:

Основные правила дифференцирования Уравнение вида $ F(x;y)=0$, содержащее переменные $ x$ и $ y$, иногда можно разрешить относительно $ y$ и получить в явном виде зависимость $ y=y(x)$.

Основные правила дифференцирования

Производные элементарных функций

Производные и дифференциалы высших порядков Производные высших порядков Пусть f(x) определена на (a,b) и имеет в некоторой окрестности точки x0Î(a,b) производную g(x)=f¢(x). Если в точке x0 существует g¢( x0), то она называется производной второго порядка от f в точке x0 и обозначается f ¢¢(x0). Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)- го порядка

Производная сложной функции

Производная показательной и логарифмической функции Предполагается, что основание a показательной и логарифмической функции больше нуля и не равно единице: a > 0, a ≠ 1 . Производная показательной функции y = ax с основанием a определяется формулой

Производные гиперболических функций легко находятся, поскольку гиперболические функции являются комбинациями ex и e−x . Например, гиперболические синус и косинус определяются как

Производная степенной функции Если f(x) = xp , где p - действительное число, то

Производная произведения и частного функций Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и

Производные тригонометрических функций Производные шести тригонометрических функций и, соответственно, шести обратных тригонометрических функций определяются следующими формулами (рядом указана область определения каждой функции)

Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье

Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Найти все производные функции

Простейшие правила дифференцирования

Натуральный логарифм Логарифм по основанию e (e - трансцендентное число, приближенно равное 2,718281828...) называется натуральным логарифмом. Натуральный логарифм числа x обозначается ln x . Натуральные логарифмы широко используются в математике, физике и инженерных расчетах.

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций.

На главную страницу