Свойства производных Дифференциал примеры

Свойства производных Покажем, что множество функций, имеющих производную в некоторой фиксированной точке $ x_0$, замкнуто относительно арифметических операций с этими функциями. А именно, докажем следующую теорему, дающую основные правила дифференцирования.

Замечания Обозначим функцию $ f(x)$ через $ u$, а функцию $ g(x)$ через $ v$.

Производные некоторых элементарных функций Выше мы уже рассмотрели линейную функцию $ f(x)=kx+b$ и показали, что её производная равна угловому коэффициенту $ k$$\displaystyle (kx+b)'=k.$

Найдём производную функции $ f(x)=\sqrt{x}$ в точке $ x>0$. Преобразуем приращение функции следующим образом:

Рассмотрим функцию $ f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ как отношение $ \dfrac{\sin x}{\cos x}$

Примеры Найдём производную функции $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^2\sin\dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\
0,&\mbox{ при }x=0.
\end{array}\right.
$

Дифференциал Определение   Пусть дана функция $ f(x)$, и $ x_0$ -- внутренняя точка её области определения. Придадим аргументу приращение $ {\Delta}x$ и рассмотрим приращение функции

Производная композиции Пусть $ f(u)$ и $ {\varphi}(x)$ -- такие числовые функции, что определена их композиция $ g(x)=(f\circ{\varphi})(x)=f({\varphi}(x))$. Предположим, что функция $ {\varphi}(x)$ определена в некоторой окрестности точки $ x_0$, а функция $ f(u)$ -- в некоторой окрестности точки $ u_0={\varphi}(x_0)$.

Примеры   Пусть $ y=\sin2x$, то есть $ y=\sin u$, где $ u=2x$: данная функция представлена в виде композиции функций $ \sin u$ и $ 2x$.

Примеры Найдём производную функции $ y=\cos^52x$. Здесь функция имеет вид $ y=u^5$, с промежуточным аргументом $ u=\cos2x$, который, в свою очередь, является сложной функцией

Инвариантность дифференциала Рассмотрим функцию $ y=f(u)$. Если предположить, что $ u$ -- независимая переменная, то$\displaystyle dy=df(u;du)=f'_u(u)du.$

Производная обратной функции Пусть $ f(x)$ -- непрерывная функция, монотонная на интервале $ (a;b)$.

Найдём производную функции $ {f(x){=}\arcsin x}$. Обратной к этой функции служит главная ветвь функции $ {{\varphi}(y)=\sin y}$ ( $ {-\frac{\pi}{2}\leqslant y\leqslant \frac{\pi}{2}}$), производная которой равна $ {{\varphi}'(y)=\cos y}$.

Пример Аналогично находится производная гиперболического косинуса $ {y=\mathop{\rm ch}\nolimits x=
\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})}$:

Сводка основных результатов о производных Для удобства приведём полученные выше результаты в виде таблицы

Производные высших порядков Если функция $ f(x)$ дифференцируема при всех $ x\in(a;b)$, то мы можем рассмотреть функцию $ f':(a;b)\to\mathbb{R}$, сопоставляющую каждой точке $ x$ значение производной $ f'(x)$.

Пример Найдём вторую производную функции $ f(x)=\sin^3x$.

Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность Напомним, что дифференциал функции $ f(x)$ (называемый также первым дифференциалом, или дифференциалом первого порядка) задаётся формулой $\displaystyle df(x;dx)=f'(x)dx.$

Производные функции, заданной параметрически Пусть задана зависимость двух переменных $ x$ и $ y$ от параметра $ t$, изменяющегося в пределах от $ {\alpha}$ до $ {\beta}$:

Производная функции, заданной неявно Уравнение вида $ F(x;y)=0$, содержащее переменные $ x$ и $ y$, иногда можно разрешить относительно $ y$ и получить в явном виде зависимость $ y=y(x)$.

Приближённое вычисление производных При численном решении задач, связанных с математическими моделями, в которых используются производные (а к таким моделям приводят почти все физические и технические задачи, описывающие процессы, разворачивающиеся во времени), эти производн$ f'(x),f''(x),\dots$ые часто приходится вычислять приближённо, исходя только из того, что имеется некоторая процедура, вычисляющая значения функции $ f(x)$, поскольку аналитические формулы, задающие $ f'(x),f''(x),\dots$, неизвестны.

Найдём производную функции $ y=\cos(2x+dfrac{\pi}{4})$.

Найдём производную функции $ y=\cos(2x+dfrac{\pi}{4})$ .

Определение производной Производная в точке x0 определяется, как предел приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю

Геометрическая интерпретация производной Предельное положение хорды, соединяющей точки (x0 , f(x0 )), (x , f(x )) графика, при x® x0 называется касательной к графику функции f(x ) в точке x0 a=arctg=arctg f ¢ (x0).

Дифференциал функции Главная линейная часть приращения функции A Dx в определении дифференцируемости функции Df=f(x) - f(x0)=A(x - x0)+o (x – x0), x®x0

Основные правила дифференцирования

Производная сложной функции Если существуют f¢(x0), g¢(x0) и x0=g(t0), то в некоторой окрестности t0 определена сложная функция f(g(t)), она дифференцируема в точке t0 и

Вычисление производной обратной функции Пусть f непрерывна и строго монотонна на [a,b]. Пусть в точке x0Î(a,b) существует f¢(x0) ¹ 0, тогда обратная функция x=f -1(y) имеет в точке y0 производную, равную

Производные элементарных функций

Функции заданные параметрически . Если x, y непрерывны на [ a,b ] и x(t) строго монотонна на отрезке [a , b] (например, строго монотонно возрастает), то на [a,b] , a=x( a), b=x(b) определена функция f(x)=y(t(x)), где t(x) – обратная к x(t) функция. График этой функции совпадает с графиком функции

Производные и дифференциалы высших порядков

Производные высших порядков Пусть f(x) определена на (a,b) и имеет в некоторой окрестности точки x0Î(a,b) производную g(x)=f¢(x). Если в точке x0 существует g¢( x0), то она называется производной второго порядка от f в точке x0 и обозначается f ¢¢(x0). Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)- го порядка

Вычисление производных функций, заданных неявно Для вычисления производной y¢(x) функции, заданной неявно уравнением (1) достаточно продифференцировать тождество F(x, f(x))=0 по переменному x. В результате такого дифференцирования всегда будет получаться соотношение вида A(x,y)+B(x,y)y¢=0 , (2)

Формула Лейбница

Дифференциалы высших порядков

Инвариантность формы дифференциала первого порядка Замечание. (Важный частный случай, когда свойство инвариантности наблюдается и для старших дифференциалов ). В случае, когда внутренняя функция суперпозиции линейна, свойство инвариантности сохраняется для дифференциалов произвольных порядков.

На главную страницу