Производная показательной и логарифмической функции

Туризм

Агротуризм

Дизайн

Ландшафтный дизайн
ДИЗАЙН В ЛЕГЕНДАХ
Американский коммерческий дизайн
Современный элитарный дизайн
Западная служба дизайна

Мировая художественная культура

 АНТИЧНАЯ ЦИВИЛИЗАЦИЯ

Графика

Пример выполнения РГР по черчение
Соединение болтом
Выполнение чертежей в AutoCAD
КОМПАС-3D
Инженерная и компьютерная графика
Позиционные задачи
Метрические задачи
Решение пространственных задач
Построить пересечение конуса и призмы
Графический способ задания поверхностей
Выполнения заданий контрольной работы
Развёртки поверхностей

Сопромат

Курс лекций по строительной механике
Задачи по строительной механике
Курс «Детали машин»
Задачи курсового проекта

Физика, электротехника

Электротехника курсовая
Лабораторные работы по ТОЭ
Расчёт трёхфазной цепи
Курсовая работа по радиотехнике
Решение задач по ядерной физике
Курс лекций по физике
Примеры расчета электрических цепей

Информатика

Корпоративные информационные системы

Атомная энергетика

Курс лекций по физике ядерного реактора
Аварийные ситуации
Радиоактивные отходы
Термоядерные реакторы
Источники радиоактивного облучения

Математика

Примеры решения задач по алгебре
Понятие комплексного числа
Исследовать систему уравнений
Дифференциальные уравнения
Предел последовательности
Вычисление производной
Теория поля
Контрольная работа по теме интегралы
Геометрические и физические приложения
кратных интегралов
Поверхностный интеграл первого
и второго рода
 

Определение производной

Рассмотрим функцию f(x) , область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки x0 . Тогда функция f(x) является дифференцируемой в точке x0 , и ее производная определяется формулой

Пример Используя определение, найти производную функции .

Найти производную функции  y(x) = sin x .

Производная сложной функции

"Двухслойная" сложная функция записывается в виде где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.

Пример Найти производную функции .

Определить производную функции .

Производная показательной и логарифмической функции

Предполагается, что основание a показательной и логарифмической функции больше нуля и не равно единице: a > 0, a ≠ 1 . Производная показательной функции y = ax с основанием a определяется формулой

Найти производную функции

Продифференцировать . Решение. Используем формулы производной сложной функции и производной частного

Производные гиперболических функций

Производные гиперболических функций легко находятся, поскольку гиперболические функции являются комбинациями ex и e−x . Например, гиперболические синус и косинус определяются как

Найти производную функции

Доказать равенство   

Производная степенной функции Если f(x) = xp , где p - действительное число, то

Вычислить производную функции

Найти производную функции

Найти производную функции

Производная произведения и частного функций Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и

Найти производную cтепенной функции с отрицательным показателем .

Пусть . Продифференцировать данную функцию, не используя производную сложной функции.

Производные тригонометрических функций Производные шести тригонометрических функций и, соответственно, шести обратных тригонометрических функций определяются следующими формулами (рядом указана область определения каждой функции)

Продифференцировать функцию

Пример Вывести формулу для производной арксинуса.

Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье

Пример Найти ряд Фурье для функции sign x

Найти ряд Фурье функции , зная, что  

Найти ряд Фурье функции , если известно, что 

Исследовать процесс почленного дифференцирования ряда Фурье функции , заданной на интервале

Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Показать, что  

Найти разложение функции в степенной ряд.

Найти представление в виде степенного ряда функции .

Разложить в степенной ряд экспоненциальную функцию e x .

Производные высшего порядка

Пусть y = f(x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде

Найти y'', если

Найти все производные функции

Найти все производные функции

Производная неявной функции

Во многих задачах функция  y(x) задана невным образом. Например, для приведенных ниже функций невозможно получить зависимость y(x) в явном виде.

Вычислить производную функции y(x), заданной уравнением при условии y = 1.

Найти уравнение касательной к кривой x 4 + y 4 = 2 в точке (1;1).

Простейшие правила дифференцирования

Пример Найти производную функции , где a и b - константы.

Натуральный логарифм

Логарифм по основанию e (e - трансцендентное число, приближенно равное 2,718281828...) называется натуральным логарифмом. Натуральный логарифм числа x обозначается ln x . Натуральные логарифмы широко используются в математике, физике и инженерных расчетах.

Вычислить .

Схематически изобразить график функции .

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций.

Вычислить производную функции

Вычислить производную функции

На главную страницу