Курс лекций по строительной механике Задачи по строительной механике Курс лекций по физике Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа

Алгебра. Арифметические операции

Сравнения по модулю и признаки делимости

Запишите состоящее из одних девяток натуральное число, которое делится на 17 без остатка.

Показать решение

Воспользуемся малой теоремой Ферма: a p – 1 ≡ 1 (mod p ). Положим a = 10, p = 17. Тогда 10 16 ≡ 1 (mod 17) или 10 16 – 1 ≡ 0 (mod 17). Число 10 16 – 1 состоит из 16 девяток. Это и есть одно из чисел, которые делятся на 17 без остатка.

Ответ. 9 999 999 999 999 999.

Если числа a и b таковы, что НОД ( a ,  b ) = 1, то числа a и b называют взаимно простыми . Например, числа 21 и 26 являются взаимно простыми, хотя каждое из них – составное.

Общим кратным нескольких чисел называется число, являющееся кратным каждого из них. Например, числа 14, 18, 7 имеют общее кратное число 252, однако число 126 тоже является общим кратным этих чисел. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, которое называется наименьшим общим кратным (обозначается НОК). В нашем примере наименьшим общим кратным перечисленных чисел будет число 126. Кратко этот факт записывается так: НОК (14, 18, 7) = 126.

Если числа небольшие, то наибольшее общее кратное можно легко угадать. Если же даны большие числа, то НОК можно найти разложением чисел на простые множители и выписыванием тех множителей, которые входят хотя бы в одно из данных чисел. После этого каждый такой множитель нужно взять с наибольшим показателем, с которым он входит во все данные числа. Затем следует произвести умножение.

Модель 1.4. Наименьшее общее кратное
Пример 3

Пусть даны числа 1080 и 8100. Найти НОК (1080, 8100).

Показать решение

Выпишем все простые делители числа 1080: 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5. Выпишем теперь все простые делители числа 8100: 2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5. Таким образом, а Значит, НОК (1080, 8100) = 2 3 ∙ 3 4 ∙ 5 2 = 16200.

Ответ.

 

 

НОК (1080, 8100) = 16200.


Понятие комплексного числа