Курс лекций по строительной механике Задачи по строительной механике Курс лекций по физике Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа

Алгебра. Арифметические операции

Понятие натуральных чисел

Приведем без доказательства законы, которые впоследствии позволят определить операции сложения и умножения не только для чисел, но и для гораздо более сложных объектов, таких, как множества, функции, группы и так далее.

Сложение и умножение натуральных чисел обладают следующими свойствами:

  1. a + b = b + a ( переместительный закон сложения ).
  2. ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( сочетательный закон сложения ).
  3. ab = ba ( переместительный закон умножения ).
  4. ( ab ) c = a ( bc ) ( сочетательный закон умножения ).
  5. a ( b + c ) = ab + ac ( распределительный закон умножения относительно сложения).

К сложению и умножению можно добавить обратные операции – вычитание и деление.

Если p , q и k – натуральные числа, то при натуральном k = p – q говорят, что

Если же натуральное k = p : q , то говорят, что

При этом число p называется кратным числа q , а число q – делителем числа p . Другими словами, если число p кратно числу q , то существует такое число k , что k = p : q .

Вычитание и деление натуральных чисел, вообще говоря, не всегда приводит опять к натуральному числу: 15 – 3 = 12 – натуральное число, но 4 – 9 = –5 – не натуральное число. 25 : 5 = 5 – натуральное число, 22 : 7 – не натуральное число.

Увы, нам придется вводить ограничения на применимость новых операций, так как в некоторых случаях они выводят нас за рамки натуральных чисел, а другие числа мы еще не определили. Так что будем пока считать, что нельзя вычитать большее из меньшего, и делить на число, которое не укладывается нацело в делимом. Но с этими ограничениями мы можем уже записывать числовые выражения.

 Числовым называется выражение , составленное из чисел с помощью знаков арифметических действий. Если в числовом выражении выполнить все указанные действия, то получится число, которое называется значением данного выражения .

Для того, чтобы определить порядок действий в выражении, введем еще один, парный, знак – скобки.


Понятие комплексного числа