Курс лекций по строительной механике Задачи по строительной механике Курс лекций по физике Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа

Алгебра лекции. Решение задач контрольной работы

Понятие комплексного числа

Пример 

Вычислить z 1  +  z 2 и z 1 z 2, где z 1  = 1 + 2 i и z 2  = 2 –  i .

Показать решение

Имеем

Ответ. z 1  +  z 2  = 3 +  i ,  z 1 z 2  = 4 + 3 i .

Рисунок 1.4.1.1

Мы хорошо помним, что геометрической интерпретацией действительных чисел является действительная прямая. Кроме того, как было установлено выше, на действительной прямой «нет места для новых точек», то есть любой точке на действительной оси отвечает действительное число. Следовательно, комплексные числа на этой прямой расположить уже нельзя, однако можно попытаться рассмотреть наряду с действительной осью , на которой мы будем откладывать действительную часть комплексного числа, ещё одну ось, ей перпендикулярную; будем называть её мнимой осью . Тогда любому комплексному числу z  =  x  +  iy можно поставить в соответствие точку координатной плоскости. На оси абсцисс будем откладывать действительную часть комплексного числа, а на оси ординат – мнимую часть. Таким образом мы построим взаимнооднозначное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости. Если такое соответствие построено, то координатная плоскость называется комплексной плоскостью .

Очень важной является интерпретация комплексного числа z  =  a  +  ib как вектора с координатами ( a ;  b ) на комплексной плоскости с началом в точке O (0; 0) и концом в точке A с координатами ( a ;  b ). Ясно, что это соответствие является взаимнооднозначным. В самом деле, как было только что отмечено, любому комплексному числу z  =  a  +  ib соответствует вектор и наоборот, каждому вектору соответствует, и притом единственное, число z  =  a  +  ib .


Понятие комплексного числа