Курс лекций по строительной механике Задачи по строительной механике Курс лекций по физике Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа

Алгебра лекции. Решение задач контрольной работы

Операции над комплексными числами

Арифметические операции над комплексными числами были определены в предыдущем пункте. Эти операции обладают следующими свойствами:

  1. Коммутативность сложения: z 1  +  z 2  =  z 2  +  z 1 для любых   .
  2. Ассоциативность сложения: ( z 1  +  z 2 ) +  z 3  =  z 1  + ( z 2  +  z 3 ) для любых .
  3. Существует такое число z = 0, которое обладает свойством z  + 0 =  z для любого z   .
  4. Для любых двух чисел z 1 и z 2 существует такое число z , что z 1  +  z  =  z 2. Такое число z называется разностью двух комплексных чисел и обозначается z  =  z 2  –  z 1.
  5. Коммутативность умножения: z 1 z 2  =  z 2 z 1 для любых   .
  6. Ассоциативность умножения: ( z 1 z 2 ) z 3  =  z 1 ( z 2 z 3 ) для любых   .
  7. Дистрибутивность сложения относительно умножения: z 1 ( z 2  +  z 3 ) =  z 1 z 2  +  z 1 z 3 для любых   .
  8. Для любого комплексного числа z : z  · 1 =  z .
  9. Для любых двух чисел и существует такое число z , что Такое число z называется частным двух комплексных чисел и обозначается Деление на 0 невозможно.

Все указанные свойства доказываются с помощью определения операций сложения и умножения.

Модель 1.15. Сложение и вычитание комплексных чисел

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модель 1.16. Умножение и деление комплексных чисел
 

Если число z  =  a  +  bi , то число называется комплексно сопряжённым с числом z .

1
Рисунок 1.4.2.1.

Комплексно сопряжённое число обозначается Для этого числа справедливы соотношения: Заметим, что последнее соотношение сводит операцию деления комплексных чисел к умножению и последующему делению на действительное число


Понятие комплексного числа