Курс лекций по строительной механике Задачи по строительной механике Курс лекций по физике Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа

Алгебра лекции. Задачи для самостоятельного решения

Формулы сокращённого умножения

Очень часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить путём применения формул сокращённого умножения . Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Формулы сокращённого умножения нужно знать наизусть:

a 2  –  b 2  = ( a  +  b )( a  –  b ), ( a  +  b ) 2  =  a 2  + 2 ab  +  b 2, ( a  –  b ) 2  =  a 2  – 2 ab  +  b 2, a 3  +  b 3  = ( a  +  b )( a 2  –  ab  +  b 2 ), a 3  –  b 3  = ( a  –  b )( a 2  +  ab  +  b 2 ), a n  –  b n  = ( a  –  b )( a n  – 1  +  a n  – 2 b  +  a n  – 3 b 2  + … +  ab n  – 2  +  b n  – 1 ), ( a  +  b ) 3  =  a 3  + 3 a 2 b  + 3 ab 2  +  b 3  =  a 3  +  b 3  + 3 ab ( a  +  b ), ( a  –  b ) 3  =  a 3  – 3 a 2 b  + 3 ab 2  –  b 3  =  a 3  –  b 3  – 3 ab ( a  –  b ).
Пример 1

Докажите формулу a 3  +  b 3  = ( a  +  b )( a 2  –  ab  +  b 2 ).

Показать решение

Имеем ( a  +  b )( a 2  –  ab  +  b 2 ) =  a 3  –  a 2 b  +  ab 2  +  ba 2  –  ab 2  –  b 3. Приводя подобные слагаемые, мы видим, что ( a  +  b )( a 2  –  ab  +  b 2 ) =  a 3  +  b 3, что и доказывает нужную формулу.

Пример 2

Упростите выражение (2 x 3  – 5 z )(2 x 3  + 5 z ).

Показать решение

Воспользуемся формулой разности квадратов, получим: (2 x 3  – 5 z )(2 x 3  + 5 z ) = (2 x 3 ) 2  – (5 z ) 2  = 4 x 6  – 25 z 2.

Ответ. 4 x 6  – 25 z 2.


Понятие комплексного числа