Курс лекций по строительной механике Задачи по строительной механике Курс лекций по физике Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа

Алгебра лекции. Задачи для самостоятельного решения

Разложение многочлена на множители

Часто бывает полезно преобразовать многочлен так, чтобы он был представлен в виде произведения нескольких сомножителей. Такое тождественное преобразование называется разложением многочлена на множители . В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих сомножителей. При разложении многочленов на множители применяют три основных приёма: вынесение множителя за скобку, использование формул сокращённого умножения и способ группировки.

  • Вынесение множителя за скобку. Из распределительного закона непосредственно следует, что ac  +  bc  =  c ( a  +  b ). Этим можно воспользоваться для вынесения множителя за скобки.
    Пример 1

    Разложить многочлен на множители 12 y 3  – 20 y 2.

    Показать решение

    Имеем: 12 y 3  – 20 y 2  = 4 y 2  · 3 y  – 4 y 2  · 5 = 4 y 2 (3 y  – 5).

    Ответ. 4 y 2 (3 y  – 5).

  • Использование формул сокращённого умножения. Формулы сокращённого умножения позволяют довольно эффективно представлять многочлен в форме произведения.
    Пример 2

    Разложить на множители многочлен x 4  – 1.

    Показать решение

    Имеем: x 4  – 1 = ( x 2 ) 2  – 1 2  = ( x 2  – 1)( x 2  + 1) = ( x 2  – 1 2 )( x 2  + 1) = ( x  + 1)( x  – 1)( x 2  + 1).

    Ответ. ( x  + 1)( x  – 1)( x 2  + 1).

  • Способ группировки. Этот способ заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. На практике он применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен окажется представленным в виде произведения.
  • Пример 3

    Разложить на множители многочлен x 3  – 3 x 2 y  – 4 xy  + 12 y 2.

    Показать решение

    Сгруппируем слагаемые следующим образом: x 3  – 3 x 2 y  – 4 xy  + 12 y 2  = ( x 3  – 3 x 2 y ) – (4 xy  – 12 y 2 ). В первой группе вынесем за скобку общий множитель x 2, а во второй − 4 y . Получаем: ( x 3  – 3 x 2 y ) – (4 xy  – 12 y 2 ) =  x 2 ( x  – 3 y ) – 4 y ( x  – 3 y ). Теперь общий множитель ( x  – 3 y ) также можно вынести за скобки: x 2 ( x  – 3 y ) – 4 y ( x  – 3 y ) = ( x  – 3 y )( x 2  – 4 y ).

    Ответ. ( x  – 3 y )( x 2  – 4 y ).
    Понятие комплексного числа