Курс лекций по строительной механике Задачи по строительной механике Курс лекций по физике Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа

Алгебра лекции. Задачи для самостоятельного решения

Квадратный трёхчлен

Пример 

Разложить на множители квадратный трехчлен x 2  – 4 x  + 3.

Показать решение

1 способ. По формулам и где найдём корни данной квадратичной функции: и Применяя формулу для разложения квадратичной функции на множители, получаем: x 2  – 4 x  + 3 = ( x  – 1)( x  - 3).

2 способ. Применим непосредственное выделение полного квадрата. x 2  – 4 x  + 3 =  x 2  – 4 x  + 4 – 1 = ( x  – 2) 2  – 1 = ( x  – 2) 2  – 1 2  = ( x  – 2 + 1)( x  – 2 – 1) = ( x  – 1)( x  – 3).

Ответ. ( x  – 1)( x  – 3).

Несмотря на то, что в дальнейшем, рассматривая многочлены, мы будем искать только действительные корни, сделаем в этом разделе небольшое отступление и покажем, что у квадратного трехчлена при любом D существуют два, в общем случае комплексных, корня. Аналогично, у любого многочлена степени n на множестве комплексных чисел есть n корней, некоторые из них могут совпадать.

Пользуясь понятием комплексного числа как расширения понятия числа действительного, можно найти корни квадратного трехчлена и при D  < 0. Итак, на множестве комплексных чисел квадратное уравнение: всегда имеет два комплексных корня:

Очевидно, что при условии, что a ,  b ,  c – действительные числа, корнями квадратного трехчлена могут быть:


Понятие комплексного числа