Корни многочлена
Как мы видели выше, методом выделения полного квадрата можно найти корни квадратного трехчлена. В случае многочленов высших степеней найти корни становится гораздо труднее, а иногда и просто невозможно. Попробуем это сделать там, где это достаточно просто.
Рассмотрим многочлен 
где a 1, a 2, ..., a n −
целые числа, a n ≠ 0.
Если многочлен 
с целыми коэффициентами имеет рациональный корень 
то число p является делителем числа 
(свободного члена), а число q является делителем числа 
(старшего коэффициента).
Действительно,
если число 
является корнем
многочлена 
то 
а именно: 
Умножим обе
части этого уравнения на 
получим: 
Так как 
− целые числа, то в скобке стоит целое число. Значит, вся правая часть этого
равенства делится на q , так как q входит в неё в качестве сомножителя. А значит
и левая часть тождества делится на q , так как она равна правой. Число p не делится
на q , так как иначе дробь 
была бы сократимой, значит и 
не делится на q . Следовательно, на q делится единственный из оставшихся сомножителей
левой части, а именно 
Аналогично доказывается, что 
делится на p . Теорема доказана.
Замечание. Эта теорема фактически
позволяет находить корни многочленов высших степеней в том случае, когда коэффициенты
этих многочленов − целые числа, а корень − рациональное число. Теорему
можно переформулировать так: если нам известно, что коэффициенты многочлена −
целые числа, а корни его − рациональны, то эти рациональные корни могут
быть только вида 
где
p является делителем числа 
(свободного члена), а число q является делителем числа 
(старшего коэффициента).
Пусть все коэффициенты многочлена 
являются целыми числами, и пусть целое число a является корнем этого многочлена.
Так как в этом случае 
то отсюда следует, что коэффициент 
делится на a .