Как мы видели выше, методом выделения полного квадрата можно найти корни квадратного трехчлена. В случае многочленов высших степеней найти корни становится гораздо труднее, а иногда и просто невозможно. Попробуем это сделать там, где это достаточно просто.
Рассмотрим многочлен
где a 1, a 2, ..., a n −
целые числа, a n ≠ 0.
Если многочлен
с целыми коэффициентами имеет рациональный корень
то число p является делителем числа
(свободного члена), а число q является делителем числа
(старшего коэффициента).
Действительно,
если число является корнем
многочлена
то
а именно:
Умножим обе
части этого уравнения на
получим:
Так как
− целые числа, то в скобке стоит целое число. Значит, вся правая часть этого
равенства делится на q , так как q входит в неё в качестве сомножителя. А значит
и левая часть тождества делится на q , так как она равна правой. Число p не делится
на q , так как иначе дробь
была бы сократимой, значит и
не делится на q . Следовательно, на q делится единственный из оставшихся сомножителей
левой части, а именно
Аналогично доказывается, что
делится на p . Теорема доказана.
Замечание. Эта теорема фактически
позволяет находить корни многочленов высших степеней в том случае, когда коэффициенты
этих многочленов − целые числа, а корень − рациональное число. Теорему
можно переформулировать так: если нам известно, что коэффициенты многочлена −
целые числа, а корни его − рациональны, то эти рациональные корни могут
быть только вида где
p является делителем числа
(свободного члена), а число q является делителем числа
(старшего коэффициента).
Пусть все коэффициенты многочлена
являются целыми числами, и пусть целое число a является корнем этого многочлена.
Так как в этом случае
то отсюда следует, что коэффициент
делится на a .
Понятие комплексного числа |