Курс лекций по строительной механике Задачи по строительной механике Курс лекций по физике Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа

Алгебра. Арифметические операции

Делители и кратные

Более удобный способ отбора составных чисел – решето Эратосфена – предложил в III в. до н. э. древнегреческий математик Эратосфен. Предположим, что нам нужно установить, какие из чисел 2, …,  N являются простыми. Выпишем их в ряд и вычеркнем каждое второе число из следующих за числом 2 – все они составные, так как кратны числу 2. Первое из оставшихся невычеркнутыми чисел – 3 – является простым. Вычеркнем каждое третье число из следующих за числом 3; следующее из невычеркнутых чисел – 5 – также будет простым. По тому же принципу вычеркнем каждое пятое число из следующих за числом 5 и вообще каждое k -ое из следующих за числом k . Все оставшиеся невычеркнутыми числа будут простыми.

Простых чисел бесконечно много.

Доказательство

Предположим, что ряд простых чисел конечен, и обозначим последнее простое число в этом ряду буквой N . Тогда число x  = 1 · 2 · … · ( N  – 1) ·  N  + 1 должно быть составным. Это число при делении на числа 2, 3, …,  N  – 1,  N всякий раз дает в остатке единицу. Таким образом, x не делится без остатка ни на одно из чисел 2, …,  N , а простых чисел, бóльших N , по нашему предположению не существует. Но если бы x было составным числом, то оно должно было делиться хотя бы на одно простое число. Мы приходим к противоречию – следовательно, ряд простых чисел бесконечен.

Доказательство этой теоремы принадлежит древнегреческому математику Евклиду и описано в его «Началах».

Приведем список простых чисел в пределах первой сотни:

Глядя на эту таблицу, можно убедиться в том, что простые числа распределены в натуральном ряду неравномерно. Существует расположенные рядом простые «числа-близнецы» (2 и 3, 3 и 5, 17 и 19, 41 и 43 и т. д.). С другой стороны, есть бесконечно длинные отрезки натурального ряда, на которых простых чисел нет вообще (так, среди последовательных чисел x  + 2,  x  + 3,  x  + 4, …,  x  +  k , где x  = 1 · 2 · … · ( k  – 1) ·  k , нет ни одного простого).

Обозначим через π ( n ) число простых чисел, меньших n . Немецкий математик Леонард Эйлер доказал, что отношение при больших n сколько угодно близко приближается к нулю. Позже математики доказали, что для больших n число (с понятием логарифма мы познакомимся позже). Также доказано, что для натурального числа n в промежутке [ n ; 2 n ] всегда найдется хотя бы одно простое число.

Одно дело – знать, что простых чисел бесконечно много, и совсем другое – доказать, что данное число n является простым. В 2005 году было доказано, что число (2 30402457 – 1) простое; оно содержит в своей записи более 900 тысяч цифр.


Понятие комплексного числа