Курс лекций по строительной механике Задачи по строительной механике Курс лекций по физике Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа

Алгебра лекции. Практические занятия

Корни многочлена

Пример 

Разложить на множители многочлен x 4  + 5 x 3  – 7 x 2  – 5 x  + 6.

Показать решение

Данный многочлен имеет целые коэффициенты. Следовательно, если целое число является корнем этого многочлена, оно является делителем свободного члена, то есть числа 6. Таким образом, если у данного многочлена существуют целые корни, то это могут быть числа ±1; ±2; ±3; ±6.

Проверкой убеждаемся, что числа +1 и −1 являются корнями многочлена, таким образом: x 4  + 5 x 3  – 7 x 2  – 5 x  + 6 = ( x  + 1)( x  – 1) Q  ( x ) = ( x 2  – 1) Q  ( x ), где Q  ( x ) − многочлен второй степени. Делим исходный многочлен на x 2  – 1 уголком:

Итак: x 4  + 5 x 3  – 7 x 2  – 5 x  + 6 = ( x 2  – 1)( x 2  + 5 x  – 6). По схеме Горнера нужно было бы выполнять два деления: на +1 и на −1, хотя, безусловно, при определённом навыке деление осуществляется с одинаковыми затратами времени, и какой метод избрать при делении − дело вкуса. Поэтому можно пользоваться всегда каким-то одним, наиболее понравившимся методом.

Говорят, что многочлен P  ( x )  делится на двучлен ( x  –  a ), где a − задано, если P  ( x ) можно представить в виде P  ( x ) =  Q  ( x )( x  –  a ) +  r ,  где Q  ( x ) − многочлен степени на 1 меньше, чем P  ( x ), а r − некоторое число, которое называется остатком от деления многочлена P  ( x ) на ( x  –  a ) . Если r  = 0, то говорят, что многочлен P  ( x ) делится на x  –  a без остатка.

Теорема Безу

Остаток от деления многочлена P ( x ) на двучлен ( x – a ) равен P ( a ), то есть P  ( x ) =  Q  ( x )( x  –  a ) +  P  ( a ).

Следствие

Число a является корнем многочлена P  ( x ) тогда и только тогда, когда этот многочлен делится на ( x  –  a ) без остатка: P  ( x ) =  Q  ( x )( x  –  a ), где Q  ( x ) – многочлен степени, на 1 меньшей, чем P  ( x ).

Доказательство

Необходимость. Если x  =  a − корень многочлена P  ( x ), то по определению корня имеем P  ( a ) = 0. По определению остатка имеем P  ( x ) =  Q  ( x )( x  –  a ) +  r , что при x  =  a имеет вид P  ( a ) =  r , но P  ( a ) = 0, следовательно, r  = 0, а значит, P  ( x ) =  Q  ( x )( x  –  a ) +  r  =  Q  ( x )( x  –  a ), то есть справедливо нужное представление.

Достаточность. Пусть P  ( x ) =  Q  ( x )( x  –  a ), тогда непосредственной подстановкой убеждаемся, что P  ( a ) = 0, что значит, что x  =  a − корень многочлена P  ( x ). Теорема доказана.


Понятие комплексного числа