Докажем, что отношения 
и 
не зависят от величины
радиуса R . Действительно, выберем на отрезке OA точку 
такую, что 
Построим
окружность с центром в начале координат радиуса 
Построенная окружность пересекает радиус-вектор 
в точке 
Так как векторы
и 
коллинеарны и одинаково направлены, то 
Однако равные векторы имеют равные координаты, следовательно, 
Откуда следует после деления обеих частей последних равенств на R 1,
что 
Итак,
для любого угла поворота отношение координат радиус-вектора к его длине не зависит
от этой длины радиус-вектора. Следовательно, отношения 
и 
характеризуют не
окружность, а лишь угол поворота. Значит, для того, чтобы рассмотреть основные
свойства этих отношений, можно взять окружность любого радиуса, например, R =
1. Так мы и сделаем. Окружность единичного радиуса с центром в начале координат
называется тригонометрической окружностью .
Ввиду всего вышесказанного, рассмотренные отношения 
и пр. как характеристики только угла (но не окружности) удобно как-либо обозначить.
Введём несколько ключевых определений.
Косинусом угла α называется абсцисса x точки B − конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол α с осью абсцисс. cos α = x .