Докажем, что отношения
и
не зависят от величины
радиуса R . Действительно, выберем на отрезке OA точку
такую, что
Построим
окружность с центром в начале координат радиуса
Построенная окружность пересекает радиус-вектор
в точке
Так как векторы
и
коллинеарны и одинаково направлены, то
Однако равные векторы имеют равные координаты, следовательно,
Откуда следует после деления обеих частей последних равенств на R 1,
что
Итак,
для любого угла поворота отношение координат радиус-вектора к его длине не зависит
от этой длины радиус-вектора. Следовательно, отношения
и
характеризуют не
окружность, а лишь угол поворота. Значит, для того, чтобы рассмотреть основные
свойства этих отношений, можно взять окружность любого радиуса, например, R =
1. Так мы и сделаем. Окружность единичного радиуса с центром в начале координат
называется тригонометрической окружностью .
Ввиду всего вышесказанного, рассмотренные отношения
и пр. как характеристики только угла (но не окружности) удобно как-либо обозначить.
Введём несколько ключевых определений.
Косинусом угла α называется абсцисса x точки B − конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол α с осью абсцисс. cos α = x .
Сложение и вычитание обыкновенных дробей |