Курс лекций по строительной механике Задачи по строительной механике Курс лекций по физике Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа

Алгебра лекции. Решение задач замостоятельного задания

Тригонометрические выражения

Пример Найдите значения выражений

2)

Показать решение

Имеем:

1)

2)

Ответ. 1) 1; 2)

Периодические функции

Функция f называется периодической с периодом T ≠ 0, если для любого x из области определения функции выполнено:

Если функция f имеет период T , то она, очевидно, имеет период nT , где Поэтому говорят о наименьшем положительном периоде (НПП) функции f . Существуют периодические функции, не имеющие НПП. Так, например, f ( x ) = C , где C − произвольная постоянная, является периодической, однако любое положительное число является её периодом. Очевидно, среди них нет наименьшего.

Пример 3

Доказать, что НПП функции y = sin x является 2π.

Показать решение

Из определения функции следует, что у точек x и x +  2π одинаковая ордината, следовательно, sin x = sin ( x + 2π), а это означает, что 2π является периодом функции sin x . Пусть T − некоторый период функции y = sin x . Тогда для всех x должно выполняться равенство sin x = sin ( x + T ). При x = 0 имеем sin T = 0. Значит, T может принимать значения только π n , где Нас интересуют T < 2π. Таким периодом может быть только T = π, однако T = π не является периодом данной функции, так как равенство sin x = sin  ( x + π) неверно при Значит, НПП функции y = sin x является T = 2π.

Аналогично можно показать, что функция y = cos x также имеет НПП T = 2π. А функции y = tg x и y = ctg x имеют НПП T = π.


Сложение и вычитание обыкновенных дробей