Курс лекций по строительной механике Задачи по строительной механике Курс лекций по физике Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа

Алгебра. Арифметические операции

Сравнения по модулю и признаки делимости

Пример 

Доказать свойство делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 9.

Показать решение

Произвольное число где – цифры числа x в десятичной записи. Так как 10 ≡ 1 (mod 9), то 10 2 ≡ 1 (mod 9) и вообще 10 k ≡ 1 (mod 9) для любого натурального k . Отсюда Теорема доказана.

Пример 2. Свойство делимости на 19

Доказать, что число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.

Решение типовых задач по математике Локальный экстремум функции нескольких переменных Конспекты лекций, лабораторные и задачи курсовых работ

Показать решение

Для любого натурального x верно равенство x = x 1 + 10 x 2, где x 1 – число единиц, x 2 – число десятков этого числа. Пусть y = x 2 + 2 x 1 (то есть y – число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц). Тогда 10 y – x = 19 x 1 ≡ 0 (mod 19), откуда следует, что x ≡ 0 (mod 19) тогда и только тогда, когда 10 y ≡ 0 (mod 19), то есть y ≡ 0 (mod 19). Утверждение доказано.

В заключение этого параграфа приведем формулировку малой теоремы Ферма.

Малая теорема Ферма

Пусть p – простое число, a – натуральное число. Тогда a p – a делится на p : a p ≡ a (mod p ).

В частности, если p – простое число, a – натуральное число, взаимно простое с p , то a p – 1 ≡  1 (mod p ).


Понятие комплексного числа