Школьный курс математики. Задачи контрольной работы

Комплексным числом называется выражение вида a  +  ib , где a  и  b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей .

Вычислить z 1  +  z 2 и z 1 z 2, где z 1  = 1 + 2 i и z 2  = 2 –  i .

Рассмотренные интерпретации комплексного числа позволяют называть комплексное число вектором или точкой на комплексной плоскости.

Отметим следующий важный факт: заданием своего модуля и аргумента комплексное число фиксируется однозначно. Обратное, вообще говоря, неверно: если задано комплексное число z ≠ 0, то его модуль определяется однозначно, а аргумент – нет.

Арифметические операции над комплексными числами были определены в предыдущем пункте

Найдите число, сопряжённое к комплексному числу (1 + 2 i )(3 – 4 i ).

Формулы сокращённого умножения Очень часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить путём применения формул сокращённого умножения . Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых
Разложение многочлена на множители Часто бывает полезно преобразовать многочлен так, чтобы он был представлен в виде произведения нескольких сомножителей. Такое тождественное преобразование называется разложением многочлена на множители . В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих сомножителей. При разложении многочленов на множители применяют три основных приёма: вынесение множителя за скобку, использование формул сокращённого умножения и способ группировки.

Квадратный трёхчлен Общая теория многочленов многих переменных далеко выходит за рамки школьного курса. Поэтому мы ограничимся изучением многочленов одной действительной переменной, да и то в простейших случаях. Рассмотрим многочлены одной переменной, приведённые к стандартному виду

Разложить на множители квадратный трехчлен x 2  – 4 x  + 3. Решите уравнение

Корни многочлена Как мы видели выше, методом выделения полного квадрата можно найти корни квадратного трехчлена. В случае многочленов высших степеней найти корни становится гораздо труднее, а иногда и просто невозможно. Попробуем это сделать там, где это достаточно просто.

Пример Разложить на множители многочлен x 3  – 5 x 2  – 2 x  + 16.

Разложить на множители многочлен x 4  + 5 x 3  – 7 x 2  – 5 x  + 6.

Алгебраическое выражение − это выражение, составленное из чисел и переменных с помощью знаков сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень и извлечения корня и скобок.

Многочленом называется сумма одночленов. Если все одночлены в многочлене приведены к стандартному виду, то говорят, что это многочлен стандартного вида . Алгебраическое выражение, не содержащее операции деления и извлечения корня (такое выражение называется целым ), всегда может быть приведено к многочлену стандартного вида. Степенью многочлена называется наибольшая из степеней его слагаемых.

  Пусть и Тогда существует единственное неотрицательное число x такое, что выполняется равенство Это число называется арифметическим корнем n -ной степени из неотрицательного числа и обозначается При этом число a называется подкоренным числом , а число n − показателем корня .

Пример

Понятие нецелой степени отрицательного числа не имеет смысла.

Итак, для любого действительного числа мы определили операцию возведения в натуральную степень; для любого числа мы определили возведения в нулевую и целую отрицательную степень; для любого мы определили операцию возведения в положительную дробную степень; для любого мы определили операцию возведения в отрицательную дробную степень.

Степенной функцией с вещественным показателем a называется функция y  =  x a , x  > 0.

 Пусть задано числовое множество Если каждому числу x     D поставлено в соответствие единственное число y , то говорят, что на множестве D задана числовая функция : y  =  f  ( x ),  x     D .  Множество D , называется областью определения функции и обозначается D  ( f  ( x )).

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Привести к общему знаменателю дроби

Перейдём теперь к изучению преобразований рациональных выражений.

Умножение. Произведение двух рациональных дробей находится по следующей формуле:

Было определено понятие степени натурального числа с натуральным показателем. Обобщим это определение на случай произвольного действительного числа.

Преобразовать в дробь степень

Из определения логарифма вытекают следующие его свойства

Логарифмом числа b по основанию a ( b > 0, ) называется показатель степени, в который нужно возвести число a , чтобы получить число b :

В геометрии угол определяется как часть плоскости, ограниченная двумя лучами. При таком определении получаются углы от 0° до 180°. Однако угол можно рассматривать и как меру поворота. Возьмем на координатной плоскости окружность радиуса R с центром O в начале координат

Определите радианную меру угла, если его градусная мера равна: 1) 2°; 2) 225°.

Итак, для любого угла поворота отношение координат радиус-вектора к его длине не зависит от этой длины радиус-вектора

Синусом угла α называется ордината y точки B − конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол α с осью абсцисс. sin α = y .

Ясно, что для данного угла α функции sin α, cos α, tg α и ctg α, которые называются тригонометрическими функциями , определены однозначно (поскольку каждому углу соответствует единственная точка на тригонометрической окружности)

Найдём значения тригонометрических функций некоторых наиболее часто встречающихся углов.

Рассмотрим правильный треугольник ABC со стороной, равной 1.

Формулы приведения

Рассмотрим радиус-вектор угол между которым и осью абсцисс равен.

Пример Упростите выражение:

Найдите sin  x   и  cos  x

Формулы сложения

Упростите выражения:

На главную страницу