Геометрические и физические приложения кратных интегралов

Тройной интеграл Определение тройного интеграла Рассмотрим некоторую поверхность . Поверхность  называется простой поверхностью, если она распадается на конечное число частей, имеющих уравнение , или , или , причём функции  и  непрерывны в некоторой простой области .

Найти момент инерции однородной круглой пластинки (x – a)2 + (y – b)2 < 4b2 относительно начала координат.

Найти массу пластинки D плотности γ = ух3, если

Найти центр тяжести однородной пластины D, ограниченной кривыми у2 = ах и

Найти объем тела V, ограниченного поверхностями

Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями z=0, z=4-y2, x2=2y.

Системы линейных уравнений Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет. Система, имеющая решение, называется совместной. Если система имеет только одно решение, то она называется определенной. Система, имеющая более чем одно решение, называется неопределенной (совместной и неопределенной). Если система не имеет решений, то она называется несовместной.

С помощью двойного интеграла найти объем тела, ограниченного поверхностями:  x+y=4, x=0, Z=0.

Длина кривой. Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:  

Вычислить работу векторного поля  вдоль отрезка прямой от точки А(-2;-3;1) до точки В(1;4;2).

Найти массу поверхности с поверхностной плотностью γ = 2z2 + 3.

Непосредственное интегрирование. Пример. Найти . В простейших примерах применяется метод непосредственного интегрирования, то есть используются свойства и таблицы интегралов. А именно, при помощи тождественных преобразований подынтегрального выражения исходный интеграл сводится к табличному интегралу или к сумме табличных интегралов.

Замена переменной под знаком интеграла

Интегрирование рациональной функции Найти интегралы:

Вычислить определенный интеграл 

Далее разберём задачу о вычислении несобственных интегралов. Определённый интеграл, который рассматривался в предыдущей задаче, вычисляется при двух предположениях: отрезок интегрирования [a,b] конечен подынтегральная функция на этом отрезке непрерывна При таких предположениях интеграл называется собственным интегралом. В том случае, если отрезок интегрирования бесконечен или конечен, но подынтегральная функция на этом отрезке терпит разрыв, интеграл называется несобственным интегралом. Вычислим 

Разберём задачу вычислении приближённого значения определённых интегралов по формуле Симпсона.

Вычисление частных производных функции нескольких независимых переменных производится по тем же правилам, по которым вычисляются производные функции одной независимой переменной, следует лишь считать постоянными все независимые переменные, кроме той, по которой вычисляется частная производная. Пример Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков. Полное приращение функции определяется по формуле: где - приращения независимых переменных. По определению приращения независимых переменных  и их дифференциалы dx, dy, dz – числа равные между собой.

Следующая задача об экстремумах функций двух переменных и об отыскании наибольших и наименьших значений функции двух независимых переменных. Функция ограниченная и дифференцируемая в замкнутой области достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значения или во внутренних точках этой области, которые являются точками стационарности функции или на её границе

Следующая задача посвящена нахождению вектора – градиента для функции нескольких переменных.

Рассмотрим теперь интегрирование функций нескольких переменных

 Вычислить двойной интеграл: . По области D: y=x2, y=2-x2. Область D изобразить на чертеже.

Следующая задача относится к вычислению тройного интеграла

Для определения горизонтальных асимптот находим ,  и . Значит, горизонтальная асимптота одна (ось ). Сделайте подстановку  Определите новые пределы интегрирования Разделите отрезок интегрирования на 10 равных частей точками Стационарные точки  находятся вне рассматриваемой области. По данному уравнению построим кривую в декартовой системе координат

На главную страницу