Задача. Исследовать на сходимость ряды:
1)
2)
Решение.
1. Рассмотрим ряд
.
Он знакочередующийся. К таким рядам применим признак Лейбница. Знакочередующийся ряд
сходится при условии:
1)
2)
.
Так как
и
, условия признака Лейбница выполняются, значит, ряд сходится. Если знакопеременный ряд сходится, то эта сходимость называется абсолютной или условной в зависимости от того, сходится или расходится соответствующий ряд из абсолютных величин членов знакопеременного ряда. Составим ряд из абсолютных величин
.
Получили положительный ряд. Применяем к нему достаточный признак сходимости – признак Даламбера: если
то положительный ряд
сходится при
и расходится, когда
Поскольку
,
ряд
сходится, следовательно, ряд
сходится абсолютно.
2. Рассмотрим ряд
.
Условия признака Лейбница выполняются:
1)
2)
Значит, ряд сходится. Исследуя ряд на абсолютную сходимость, составим ряд из абсолютных величин
Применяем интегральный признак сходимости Маклорена-Коши: положительный ряд
сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится
(здесь
при
- непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, такая что
).
Вычисляем
Это означает, что несобственный интеграл расходится, тогда расходится ряд
, а исходный ряд
сходится условно.
Отметим, что при исследовании сходимости ряда
можно было использовать предельный признак сходимости (см. задачу 21).
На главную страницу. Практические по математике |
|