Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Криволинейный интеграл второго рода

Пусть по кривой MN, расположенной в плоскости хОу, движется материальная точка Р (х, у ), к которой приложена сила F , изменяющаяся по величине и направлению при перемещении точки. Физическая задача вычисления работы силы  при перемещении точки Р из положения М в положение N приводит к понятию криволинейного интеграла второго рода. Для этого кривая MN разбивается на п произвольных частей точками М=M1,M2,M3,…Mn=N

Напрвленные отрезки обозначим вектором , величину силы F в точке Мj обозначим Ft. Тогда скалярное произведение Fi • Mt - приближённое выражение работы силы  вдоль дуги Mi-1Mi Работа на всей кривой MN

Пусть - проекции вектора на оси координат, Δхi, Δуi, - проекции вектора . Запишем скалярное произведение в формуле (33) через проекции векторов:

Предел интегральной суммы (34) при стремлении к нулю наибольшей из длин частичных дуг кривой MN (n→∞) называется криволинейным интегралом от функций Р(х,у), Q(x,y) вдоль кривой MN по координатам х, у (иначе - криволинейным интегралом второго  рода). Обозначается такой интеграл

  и численно равен работе силы   на пути MN.

Криволинейные интегралы второго рода обладают такими же свойствами 1, 2, как и интегралы первого рода. В отличие от последних они зависят от направления обхода кривой. Если изменить направление обхода, то интеграл меняет знак:

Если контур интегрирования L замкнут, то положительным направлением обхода считается движение против часовой стрелки. При этом область, заключённая внутри контура остаётся слева по ходу движения.

Чтобы вычислить криволинейный интеграл второго рода, его нужно преобразовать в определённый с помощью уравнения кривой интегрирования. При этом:

если кривая MN задана уравнением у=у(х), то

если кривая MN задана уравнением х = х (у), то

если кривая MN задана параметрическими уравнениями х = х (t), у=у(t) при перемещении из точки М в точку N параметр t меняется от α до β, то

Важно подчеркнуть, что в нижнем пределе определённых интегралов (35) и (36) стоит координата точки начала, а в верхнем пределе - координата точки конца кривой интегрирования.

Криволинейный интеграл второго рода может быть задан на пространственной кривой, и тогда он имеет вид

Его можно преобразовать в определённый интеграл, если кривая интегрирования

задана параметрическими уравнениями х = х (t), у=у(t), z=z(t).

11. Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида пути интегрирования

Пусть D - некоторая замкнутая область на плоскости хОу, ограниченная контуром L. На ней заданы функции Р = Р(х,у) и Q = Q(x,y), непрерывные на D вместе со своими частными производными первого порядка. Формула Грина связывает криволинейный интеграл второго рода по L с двойным интегралом по области D:

Движение по контуру L - в положительном направлении.

С помощью формулы Грина значение криволинейного интеграла по замкнутому контуру можно найти, вычислив двойной интеграл


На главную страницу. Практические по математике