Криволинейный интеграл второго рода
Пусть по кривой MN, расположенной в плоскости хОу, движется
материальная точка Р (х, у ), к которой приложена сила F , изменяющаяся по величине
и направлению при перемещении точки. Физическая задача вычисления работы силы
при перемещении точки Р из положения
М в положение N приводит к понятию криволинейного интеграла второго рода. Для
этого кривая MN разбивается на п произвольных частей точками М=M1,M2,M3,…Mn=N
Напрвленные
отрезки обозначим вектором 
, величину силы F в точке Мj обозначим Ft. Тогда
скалярное произведение Fi • Mt - приближённое выражение работы силы 
вдоль дуги Mi-1Mi Работа на всей кривой
MN
Пусть
- проекции вектора на оси координат,
Δхi, Δуi, - проекции вектора . Запишем скалярное произведение в формуле (33) через
проекции векторов:
Предел интегральной суммы (34) при стремлении к нулю наибольшей из длин частичных дуг кривой MN (n→∞) называется криволинейным интегралом от функций Р(х,у), Q(x,y) вдоль кривой MN по координатам х, у (иначе - криволинейным интегралом второго рода). Обозначается такой интеграл
и численно равен работе силы
на пути MN.
Криволинейные интегралы второго рода обладают такими же свойствами 1, 2, как и интегралы первого рода. В отличие от последних они зависят от направления обхода кривой. Если изменить направление обхода, то интеграл меняет знак:
Если контур интегрирования L замкнут, то положительным направлением обхода считается движение против часовой стрелки. При этом область, заключённая внутри контура остаётся слева по ходу движения.
Чтобы вычислить криволинейный интеграл второго рода, его нужно преобразовать в определённый с помощью уравнения кривой интегрирования. При этом:
если кривая MN задана уравнением у=у(х), то
если кривая MN задана уравнением х = х (у), то
если кривая MN задана параметрическими уравнениями х = х (t), у=у(t) при перемещении из точки М в точку N параметр t меняется от α до β, то
Важно подчеркнуть, что в нижнем пределе определённых интегралов (35) и (36) стоит координата точки начала, а в верхнем пределе - координата точки конца кривой интегрирования.
Криволинейный интеграл второго рода может быть задан на пространственной кривой, и тогда он имеет вид
Его можно преобразовать в определённый интеграл, если кривая интегрирования
задана параметрическими уравнениями х = х (t), у=у(t), z=z(t).
11. Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида пути интегрирования
Пусть D - некоторая замкнутая область на плоскости хОу, ограниченная контуром L. На ней заданы функции Р = Р(х,у) и Q = Q(x,y), непрерывные на D вместе со своими частными производными первого порядка. Формула Грина связывает криволинейный интеграл второго рода по L с двойным интегралом по области D:
Движение по контуру L - в положительном направлении.
С помощью формулы Грина значение криволинейного интеграла по замкнутому контуру можно найти, вычислив двойной интеграл