Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Пример Вычислить интеграл

где L - пробегаемая в положительном направлении окружность радиуса 2 с центром в начале координат.

РЕШЕНИЕ

В данном интеграле

Следовательно

По формуле (38) получим

где D - круг радиуса 2 с центром в начале координат. Двойной интеграл вычислим в полярных координатах

Без применения формулы Грина данный интеграл вычислить невозможно, так как невыполнимо интегрирование функций

С помощью формулы Грина доказывается, что криволинейный интеграл

не зависит от пути интегрирования MN, а зависит лишь от положения точек М и N, если во всех точках односвязной области D соблюдается равенство

При этом условии интеграл по любому замкнутому контуру LD равен нулю.

Область О называется односвязной, если ее граница состоит из одного не самопересекающегося контура L и внутри контура L нет точек, не принадлежащих области D.

Если выполняется равенство (39), выражение

является полным дифференциалом некоторой функции U=U(x,y)

Функцию U=U(x,y) называют потенциальной (первообразной) функцией для выражения

Р(х, y)dx + Q(x,y)dy

 Она может быть найдена по формуле

Где (x0,y0) - любая фиксированная точка области D; (х,у) - переменная точка; С -произвольная постоянная.

При выполнении условия (39) криволинейный интеграл равен разности значений потенциальной функции в конечной и начальной точках пути интегрирования:


На главную страницу. Практические по математике