Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Пример Вычислить интеграл

 по верхней стороне полусферы

 Преобразуем уравнение поверхности к виду:

  Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг, уравнение которого:

  Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:

,

Связь поверхностных интегралов первого и второго рода

Поверхностные интегралы первого и второго рода связаны друг с другом соотношением:

  (25.5)

 В формуле (25.5) cosa, cosb, cosg – направляющие косинусы нормали к поверхности S в выбранную сторону поверхности.

П.4. Формула Гаусса-Остроградского аналогом формулы Грина-Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.

 Для вывода формулы Гаусса-Остроградского надо воспользоваться рассуждениями, подобными тем, которые использовались при нахождении формулы Грина – Остроградского.

 Рассматривается сначала поверхность, ограниченная сверху и снизу некоторыми поверхностями, заданными известными уравнениями, а сбоку ограниченную цилиндрической поверхностью. Затем рассматривается вариант, когда поверхность ограничена цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными двум другим координатным осям.

 После этого полученные результаты обобщаются, приводя к формуле Гаусса-Остроградского:

  (25.6.)

 Отметим, что формула (25.6) применима для вычисления поверхностных интегралов по замкнутой поверхности.

 На практике формулу Гаусса – Остроградского можно применять для вычисления объема тел, если известна поверхность, ограничивающая это тело.

 Имеют место формулы:

  (25.7)


На главную страницу. Практические по математике