Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Задача Вычислить:

 

Решение:

Напомним, что если тело V снизу ограничено поверхностью , сверху – поверхностью  и проекция V на плоскость ху есть область D , то тройной интеграл от функции f(x,y,z) по V вычисляется по формуле

Построив  поверхности ограничивающие V, видим, что V есть треугольная призма ( рис.5а.).

Рис.5.

 


Призма V ограничена: снизу поверхностью z=0, сверху поверхностью , и проекция V на плоскость ху совпадает с основанием D этой призмы (рис. 5б.). Поэтому

Внутренний интеграл по z вычисляем, считая х и у постоянными:

 

Полученный двойной интеграл удобнее вычислять, интегрируя сначала по у , а затем по х , поскольку при этом не встретится интегрирование по частям.

Ответ:J=1.

3. Исследование гамма-функции.

Ранее мы установили, что гамма-функция  непрерывна и дифференцируема сколько угодно раз для , кроме того , следовательно в силу теоремы Ролля

  такая, что .

можно показать, что  и в этой точке гамма-функция имеет минимум, причём . Учитывая, что , нетрудно заметить, что .

Принимая во внимание проведённое исследование, нетрудно нарисовать график гамма-функции для  (рис 1).

 


 рис 1

Пользуясь формулами приведения, гамма-функцию доопределяют и для отрицательных . Окончательно график  имеет вид (рис 1).

 


Как и многие специальные функции, гамма-функция табулирована. Ввиду того, что значения гамма-функция для  и для   могут быть вычислены с помощью формул , , в таблице приводятся значения  для . (рис 2).


На главную страницу. Практические по математике