Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Задача Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями у=11 – х2; у= - 10х.

Решение.

Для нахождения точек пересечения параболы у=11 – х2 с прямой у= - 10х.

решим систему

Получим точку А (-1; 10) и точку В (11; -110). Построим линии ограничивающие заданную фигуру (рис.8).

Рис.8

Напомним, что площадь SD области D находится по формуле

Таким образом,

Ответ:  SD =288

Задача

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

 

Решение:

Для нахождения точек пересечения окружности х2+у2=12 с параболой   решим систему 

Получим точку А() и точку В(). Построим линии, ограничивающие данную фигуру (рис.9)

Рис.9.


В качестве заданной фигуры следует взять заштрихованную часть круга, так как именно в этой части выполняется условие х³0. Таким образом,

К первому из полученных интегралов применим подстановку , второй вычисляется непосредственно:

Ответ:

Криволинейные координаты и замена переменных в кратных интегралах

Криволинейные координаты

Относительно пространственной декартовой системы координат  положение точки определяется её тремя декартовыми координатами ,  и . Если , то положение точки  можно определить, задав такие три параметра:  - расстояние точки   от оси ;  -расстояние точки  от начала координат;  - двухгранный угол между плоскостью  и плоскостью,

проходящей через ось и точку   (рис. 12). Очевидно, что параметры ,  и  можно выразить через декартовы координаты  и . Параметры ,  и  мы можем также назвать координатами точки , .

И вообще, за координаты точки  мы можем принять любые три функции:

  (1)

лишь бы только соотношениями (1) координаты  и  определялись однозначно:

  (2)

Т.е. ни одно из соотношений (1) или (2) не должно противоречить другим или быть следствием других. Заметим, что из соотношений (2) в этом случае параметры  и  также будут определяться однозначно. Можно доказать, что эти условия выполняются, если определить , называемый определителем Якоби или якобианом преобразования, отличен от нуля, т.е.

  (3)


На главную страницу. Практические по математике