Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Задача Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями:

у2-4у+х2=0; у2-8у+х2=0; ;

Указание. В этой задаче двойной интеграл удобнее вычислять в полярной системе координат.

 Пусть область D ограничена двумя кривыми, имеющими в полярной системе координат уравнения , и двумя лучами j=j1 и j=j2, (j1<j2) т.е. область D записывается в виде D:{j2 ³ j ³ j1; r2(j) ³ r ³ r1( j)}. В этом случае справедлива формула:

Решение:

Преобразуем первое уравнение ( у2-4у+4)+х2=4. В скобках стоит полный квадрат:

(у-2)2+х2=4 – это есть уравнение окружности с центром в точке (0,2) и радиусом равным 2. Аналогично второе уравнение приводится к виду х2- (у-4)2=16 . Это есть уравнение окружности с центром в точке (0,4) и радиусом, равным 4. Уравнение  -- уравнение прямой, проходящей через начало координат под углом 300 к оси ОХ . Построим все эти линии (рис.10)

Рис.10.


Заштрихованная фигура и есть та площадь, которую нам надо найти. Запишем уравнение окружности в полярных координатах, сделав замену по формулам x =r cos j, y =r sinj. Получим для первой окружности r2 sin2j -- 4r isn j +r2 cos2j =0; Þ r = 4sinj . Уравнение второй окружности в полярных координатах: . Область записывается в виде Таким образом,

Ответ:

Вычисление тройного интеграла

Пусть тело   есть простая область (рис. 10). Допустим, что оно ограничено снизу поверхностью , сверху поверхностью , а с боков - цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси , а направляющей служит граница простой области , расположенной в плоскости , причём функции   и  непрерывны в области . Пусть, кроме того, функция  интегрируема в теле . Тогда можно сказать, что

,

причём интеграл, стоящий справа, записывается так:

.

В том случае, если область  ограничена снизу непрерывной кривой , сверху - непрерывной кривой , а с боков прямыми   и , то последнюю формулу можно записать так:

.

Интеграл, стоящий справа, называется трехкратным или повторным. Заметим, что выбирая внешнее интегрирование по переменной  или , можно написать ещё пять различных трехкратных интегралов, через которые выражается данный интеграл . Порядок выполнения операций интегрирования зависит от вида области, по которой выполняется интегрирование.


На главную страницу. Практические по математике