Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Задача Пластина D задана ограничивающими ее кривыми M--поверхностная плотность.

Найти массу пластины.

D: x2+y2=4; : x2+y2=9; x=0; y=0; (x £ 0; y ³ 0); M=(y-2x)/(x2+y2)

Решение :

Область D ограничена окружностями x2+y2=4 и x2+y2=9 с центрами в начале координат и радиусами, равными соответственно 2 и3, и осями координат. Из четырех таких областей надо взять ту, в которой выполняются условия x £ 0; y ³ 0 (заштрихованная область рис. 11)

Рис.11.


Масса плоской пластины равна двойному интегралу от поверхностной плотности:

Вычисление данного интеграла удобнее выполнять в полярных координатах. Область D записывается в виде  . Поэтому

Ответ: MD=3

Гамма функция (интеграл Эйлера 2го рода)

1. Определение гамма-функции.

Не элементарная трансцендентная функция, определяемая для положительных   равенством

 (1)

называется гамма-функцией или интегралом Эйлера 2го рода. Эта функция относится к числу так называемых специальных функций, с помощью которых выражаются решения многих задач математической физики, статики и пр..  имеет две особые точки  и . Представим интеграл (1) в виде суммы двух интегралов

Оба интеграла сходятся равномерно по параметру  на любом конечном отрезке . Действительно, пусть  и . Тогда   при   и , и, следовательно интеграл  сходится равномерно на .

Аналогично   при ,  сходится, а сходится равномерно на .

Кроме того оба интеграла непрерывны по параметру  на произвольном отрезке , а поэтому функция   непрерывна .

Значит при   функция  непрерывно дифференцируема, причём

Применяя метод математической индукции можно доказать, что  имеет производную nго проядка при , причём

,

в частности

.


На главную страницу. Практические по математике