Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Задача Найти объем тела W, заданного ограничивающими его поверхностями

Решение:

Поверхности - это цилиндрические поверхности с вертикальными образующими, направляющими являются соответственно полупараболы Все остальные поверхности являются плоскостями. Построив поверхности, получаем тело, ограниченное этими поверхностями (рис.14.а).

рис.14

Тело W снизу ограничено поверхностью z=0 , сверху – поверхностью , и проекция W на плоскость ху совпадает с основанием D этого тела (рис.14.б). Поэтому

Ответ: VW=1

Задача

Найти объем тела W, заданного ограничивающими его плоскостями: х2+у2=5у; х2+у2=8у;

Решение:

Преобразуем уравнения х2+у2=5у; х2+у2=8у; соответственно к виду . Первое уравнение –это уравнение прямого кругового цилиндра, направляющей служат окружность  с центром в точке (0, 5/2) и радиусом, равным 5/2, второе – уравнение прямого кругового цилиндра, его направляющая – окружность х2+(у-4)2=160 с центром в точке (0, 4)и радиусом, равным 4. Уравнение  полуконуса с вершиной в точке (0,0,0),

для которого ось oz является осью симметрии. Поверхность z=0 есть уравнение плоскости ху. Построив поверхности, получим тело W, ограниченное этими поверхностями (рис.15.а).

Рис.15.

x2+y2=5y

тело W сверху ограничено поверхностью полуконуса , снизу – поверхностью z=0 , и проекция тела W на плоскость ху совпадает с основанием D этого тела (рис.15.б). Поэтому

Этот интеграл удобно вычислять в полярной системе координат. Уравнения х2+у2=5у

и х2+у2=8у в этой системе координат соответственно имеют вид r = 5sinj , r = 8sinj . Область D записывается в виде:D:{ 0£ j £ p; 5sinj £ r £ 8sin j} .Таким образом,

Ответ: VW=172


На главную страницу. Практические по математике