Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Найти объем тела W, заданного, ограничивающими его поверхностями

.

Решение:

Возведя в квадрат обе части первого уравнения и переписав его в виде x2+y2+z2=36, находим, что первое уравнение есть уравнение верхней половины сферы с центром в начале координат и радиусом равным 6 (верхней потому что перед корнем стоит знак «+»). Второе уравнение приводится к виду z2=(x2+y2)/3. Это есть уравнение конуса, образованного вращением прямой  вокруг оси oz. Тело, ограниченное этими поверхностями, изображено на (рис. 18.а).

Рис.18.

 

Как известно объем тела W находится по формуле

Интеграл вычислим двумя способами.

Первый способ.

Тело W снизу ограничено поверхностью , сверху поверхностью . Найдем область D в плоскости ху , на которую проектируется тело W . Для этого решим систему

Получим х2+у2=27 , т.е. D есть круг радиусом  с центром (0; 0).

Полученный интеграл будем вычислять в полярной системе координат. Область D записывается в виде . Следовательно,

Второй способ.

Для вычисления тройного интеграла перейдем к сферической системе координат. Напомним, что если тело Е записано в виде E:{ r1£r£r2; j1£j£j2; j1£j£j2 } , то тройной интеграл от функции f(x,y,z) по Е вычисляется по формуле

Порядок интегрирования здесь может быть и любым другим.

В сферической системе координат уравнение сферы  x2+y2+z2=6 имеет вид r = 6. Прямая   составляет угол  с осью oz , поэтому уравнение конуса  в сферической системе координат примет вид . Тело W записывается в виде W:{0 £ r £ 6; 0 £ j £ }. Поэтому

Ответ: VW=72p.


На главную страницу. Практические по математике