Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Пример Вычислить площадь, ограниченную параболой

 и прямыми  и .

 Решение: Выполним чертеж. Графиком  является парабола,

   ветви которой направлены

 вниз (знак “ - “ перед ) и

приподняты на 2 единицы

   (рис. 1).

 Искомая площадь симметрична

 относительно оси ,

  следовательно, можно

 вычислить половину площади

  и удвоить результат.

 .

 Рис. 1

 Для вычисления пределов интегрирования решим совместное уравнение параболы и прямой :

   ,

согласно формуле (1г), табл. получим

;  (кв. ед.)

 Пример 48. Вычислить площадь, ограниченную линией

, .

 Решение: В данной задаче чертеж выполнять необязательно, т. к. задано изменение параметра . Уравнение линии рассматривается в декартовых координатах, но имеет параметрический вид (в). Воспользуемся формулой (1в) табл.

.

  Пример. Вычислить площадь, ограниченную линией .

  Решение: Так как уравнение линии, ограничивающей искомую площадь, задано в полярных координатах, то необходимо воспользоваться формулой (1д), табл.

Пределы интегрирования не заданы,

поэтому необходимо сделать чертеж

(рис. 2). Линию

построим по точкам, давая  значения

через равный промежуток, например,

, начиная от  до .

Вычислим   искомой площади.

 Рис. 2

  (кв. ед.).