Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Пример. Найти длину дуги

, отсеченную прямой .

 Решение: Уравнение линий заданы в декартовых координатах.

 Воспользуемся формулой (2а), табл. .

 Из чертежа видно, что пределы интегрирования

 будут   и

  (рис. 3).

 Рис. 3 .

  (кв. ед.).

 Пример. вычислить длину одной арки циклоиды

  (рис. 4).

 Решение: Из соотношения  видно, что значение  соответствует ,

  соответствует ,

. Так как уравнение линии

задано в декартовых координатах

(вид в), то используем формулу (2в),

табл.: , .

  Рис. 4

.

Координатные линии

Рассмотрим пересечения двух координатных поверхностей

   Очевидно, что кривая, по которой пересекаются эти поверхности, обладает таким свойством, что вдоль этой кривой координаты  и  постоянны, а меняется одна только координата , поэтому эта кривая называется координатной линией . Аналогично пересечение поверхностей

 

 и 

даёт нам соответственно координатные линии  и .

Очевидно, что в общем случае координатные линии представляют собой некоторые кривые, поэтому координаты  и  называются криволинейными координатами. Проведем к координатным линиям, пересекающимся в точке , касательные, направления которых соответствуют направлениям возрастания координат. Орты этих осей называются ортами криволинейных координатных осей и обозначаются соответственно  и . Систему криволинейных координат называют ортогональной, если ортогональны орты  и , т.е. если выполняются условия

.

Заметим, что в декартовой системе координат  координатными поверхностями будут являться плоскости, параллельные координатным плоскостям , а координатными линиями - прямые, параллельные осям   и .


На главную страницу. Практические по математике