Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Вычислить площадь эллипса с полуосями

Пример.  и   (рис 5)

Решение. Напомним, что каноническое уравнение эллипса имеет вид

Однако воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса

Очевидно, что когда параметр  пробегает промежуток от  до , текущая точка  обегает контур эллипса один раз от точки . Переход к параметрическим уравнениям эллипса существенно упрощает вычисление определённого интеграла, дающего нам выражение для площади эллипса. В виду симметричности эллипса вычислим площадь его четверти, которая лежит в первом квадрате.

Действительно , где   - уравнение верхней половины эллипса. В силу параметрических уравнений эллипса найдём пределы интегрирования: , положим здесь , получим , а положив , будем иметь верхний предел интегрирования . Учитывая, что в силу тех же параметрических уравнений , окончательно сформируем определённый интеграл для вычисления площади, ограниченной эллипсом:

Итак, площадь эллипса  кв.ед.. Заметим, что, положив здесь , получим известное нам выражение для площади круга .

 

Допустим теперь, что нам необходимо вычислить площадь, ограниченную кривой, заданной уравнением в полярных координатах. Точнее, вычислим площадь фигуры, ограниченной лучами , а также кривой   (предполагаем, естественно, что функция  на промежутке  интегрируема) (рис 6).

Проведём рассуждения в полярной системе координат

(  - полюс,  - полярная ось).

Из полюса   проведём лучи

  (луч  и  (луч ), а также построим кривую  .

Найдём площадь криволинейного сектора . В соответствии с определением определённого интеграла выполним следующие пять операций.

1. Разобьём сектор  лучами    произвольным образом на  частей (секторов); обозначим . Рангом дробления назовём .

2. В каждом секторе, ограниченном лучами  проведём произвольный луч  и вычислим значение .

3. Заменим этот сектор круговым с радиусом  и вычислим площадь этого кругового сектора

4. Составим интегральную сумму

5. Измельчая дробление, и устремляя ранг дробления к нулю, будем искать предел .

В пределе получим площадь криволинейного сектора .