Вычислить площадь эллипса с полуосями
Пример.
и
(рис 5)
Решение. Напомним, что каноническое уравнение эллипса имеет вид
Однако воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса
Очевидно, что когда параметр
пробегает промежуток от
до
, текущая точка
обегает контур эллипса один раз от точки
. Переход к параметрическим уравнениям эллипса существенно упрощает вычисление определённого интеграла, дающего нам выражение для площади эллипса. В виду симметричности эллипса вычислим площадь его четверти, которая лежит в первом квадрате.
Действительно
, где
- уравнение верхней половины эллипса. В силу параметрических уравнений эллипса найдём пределы интегрирования:
, положим здесь
, получим
, а положив
, будем иметь верхний предел интегрирования
. Учитывая, что в силу тех же параметрических уравнений
, окончательно сформируем определённый интеграл для вычисления площади, ограниченной эллипсом:
Итак, площадь эллипса
кв.ед.. Заметим, что, положив здесь
, получим известное нам выражение для площади круга
.
Допустим теперь, что нам необходимо вычислить площадь, ограниченную кривой, заданной уравнением в полярных координатах. Точнее, вычислим площадь фигуры, ограниченной лучами
, а также кривой
(предполагаем, естественно, что функция
на промежутке
интегрируема) (рис 6).
Проведём рассуждения в полярной системе координат
(
- полюс,
- полярная ось).
Из полюса
проведём лучи
(луч
и
(луч
), а также построим кривую
![]()
.
Найдём площадь криволинейного сектора
. В соответствии с определением определённого интеграла выполним следующие пять операций.
1. Разобьём сектор
лучами
![]()
произвольным образом на
частей (секторов); обозначим
. Рангом дробления назовём
.
2. В каждом секторе, ограниченном лучами
проведём произвольный луч
и вычислим значение
.
3. Заменим этот сектор круговым с радиусом
и вычислим площадь этого кругового сектора
4. Составим интегральную сумму
5. Измельчая дробление, и устремляя ранг дробления к нулю, будем искать предел
.
В пределе получим площадь криволинейного сектора
.
На главную страницу. Практические по математике |
|