Вычислить площадь, ограниченную кривой
.
Решение. Если переменная
пробегает значения от
до
, текущая точка обегает кривую, которая называется кардиоидой. Если
, имеем верхнюю половину фигуры. Очевидно, что
рис 7
Итак, искомая площадь
кв. ед..
2. Вычисление длины дуги плоской кривой
Пусть кривая
(рис 8) задана уравнением
, где
. Предположим, что функция
и её производная
непрерывны на
. Длиной дуги кривой
мы будем называть предел длины вписанной в неё ломаной линии при условии, что
, а длина наибольшего звена
ломаной (ранг разбиения) стремится к нулю. Обозначим длину частичного участка ломаной линии
. Преобразуем здесь по формуле Лагранжа разность
. [an error occurred while processing this directive] Получим
.
Длина всей ломаной линии
Это есть интегральная сумма для непрерывной функции
. Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, в пределе получим такое выражение для длины дуги плоской кривой
Пример 4. Найти длину дуги кривой
, если
и уравнение кривой
Решение. Очевидно, что кривая
представляет собою отрезок прямой линии, причём
. Имеем
![]()
.
Тогда
Ответ: Длина дуги кривой
равна
лин.ед..
Если кривая
задана параметрическими уравнениями
то нетрудно убедиться, что длина дуги кривой
вычисляется по формуле
Отметим, что здесь естественно предполагается, что функции
,
и их производная
и
непрерывны на промежутке
.
На главную страницу. Практические по математике |
|