Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Вычислить площадь, ограниченную кривой

.

Решение. Если переменная  пробегает значения от  до , текущая точка обегает кривую, которая называется кардиоидой. Если , имеем верхнюю половину фигуры. Очевидно, что

 рис 7

Итак, искомая площадь  кв. ед..

2. Вычисление длины дуги плоской кривой

 Пусть кривая  (рис 8) задана уравнением , где . Предположим, что функция  и её производная  непрерывны на . Длиной дуги кривой  мы будем называть предел длины вписанной в неё ломаной линии при условии, что , а длина наибольшего звена

ломаной (ранг разбиения) стремится к нулю. Обозначим длину частичного участка ломаной линии . Преобразуем здесь по формуле Лагранжа разность . [an error occurred while processing this directive] Получим

.

 Длина всей ломаной линии

Это есть интегральная сумма для непрерывной функции . Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, в пределе получим такое выражение для длины дуги плоской кривой

Пример 4. Найти длину дуги кривой , если   и уравнение кривой

Решение. Очевидно, что кривая  представляет собою отрезок прямой линии, причём . Имеем   .

Тогда

Ответ: Длина дуги кривой  равна   лин.ед..

Если кривая   задана параметрическими уравнениями

то нетрудно убедиться, что длина дуги кривой  вычисляется по формуле

Отметим, что здесь естественно предполагается, что функции ,  и их производная   и  непрерывны на промежутке .