Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Пример. Исследовать сходимость интеграла

.

Решение. Очевидно, что . Применим 2-ой признак сравнения

Вывод: данный интеграл сходится.

Интегралы, зависящие от параметра

В том случае, если функция, стоящая под знаком определённого интеграла кроме переменной , по которой ведётся интегрирование, зависит ещё от некоторого параметра , то очевидно, что интеграл  является функцией параметра , т.е.

.

Например ; ;

.

Заменим, что интегралы, зависящие от параметра, находят многочисленные приложения. Представляет интерес вопрос о существовании и нахождении производной от такого интеграла по параметру . Приведём без доказательства теорему.

Теорема. Если функция  непрерывна в замкнутом прямоугольнике  и имеет в нём непрерывную частную производную по параметру , то на промежутке  имеем:

 (1)

Заметим, что эта операция называется дифференцированием под знаком интеграла.

Отметим, что при , т.е. для несобственных интегралов  для дифференцирования под знаком интеграла не достаточно сходимости интеграла и существования непрерывной частной производной . Дополнительно требуется так называемая равномерная сходимость несобственного интеграла. Рассмотрим это понятие подробнее.

Определени е 1. Несобственный интеграл по неограниченному промежутку  называется равномерно сходящимся по параметру  на , если для любого  найдётся такое, не зависящее от число , что для любого  неравенство

будет выполняться для всех значений  из промежутка .


На главную страницу. Практические по математике