Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Пример Доказать, что интеграл

.  сходится равномерно относительно параметра .

Решение. Очевидно, что для любого параметра  справедлива такая оценка

,

а несобственный интеграл  сходится.

 Следовательно, данный интеграл сходится равномерно относительно любого параметра , для которого определена функция .

Пример 3. Вычислить интеграл  с помощью интеграла, зависящего от параметра .

Решение. Заметим, что интеграл  представляет собою функцию переменной , выраженную собственным интегралом. Подынтегральная функция  и её частная производная по 

непрерывны при всех  и любом значении . Следовательно, функцию  можно дифференцировать под знаком интеграла. Получим

, т.е. .

Интегрируя получим:

.

Для определения значения постоянной  положим в этом тождестве ; т.к. , то получаем . Итак, получим

При , в частности, имеем .

Пример (Интеграл Дирихле).

Вычислить   .

Решение. Будем считать, что данным интегралом является функция параметра :

 

и проверим для него выполнение условий применимости формулы Лейбница.

1. Подынтегральная функция  и её частная производная  непрерывны для всех  и любом .

2. Данный интеграл сходится (абсолютно).

Действительно, принимая во внимание, что , получим

3. Интеграл от функции  мажорируется сходящимся интегралом:

Таким образом имеем:

.

Откуда

.

Учитывая, что  и полагая , находим , следовательно

.

В частности

.

Положим здесь , тогда получим часто встречающийся интеграл Дирихле

.


На главную страницу. Практические по математике