Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Пример. Вычислить объём тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью

  (рис. 11).

Решение. Искомый объём , где тело   есть пирамида, ограниченная плоскостью  и координатными плоскостями.

Очевидно, что этот тройной интеграл можно выразить шестью различными способами через трёхкратный:

или

или

Проведём вычисления по последней формуле (нетрудно убедиться, что остальные интегралы вычисляются аналогично), получим

.

Имеем .

Наконец,  куб. ед.

1. Определение бета-функции

Бета-функцией или интегралом Эйлера первого рода называется интеграл вида

 (1)

Для  и  интеграл является несобственным как на верхнем, так и на нижнем пределах интегрирования. Можно доказать однако, что эти интегралы сходятся.

2. Свойства бета-функции

1.  (симметрия)

Действительно, сделаем замену переменных в интеграле , положив .

Получим

,

т.е. .

2. Докажем, что для бета-функции справедливы формулы приведения

 (2)

Для доказательства решим интеграл (1) по частям:

Преобразуем подынтегральное выражение во втором интеграле так:

таким образом выражение для :

Откуда следует:

В силу симметрии бета-функции имеем аналогичную формулу приведения:

.

Формулы приведения позволяют свести вычисление бета-функции от аргументов больших единицы, к вычислению её от аргументов, меньших единицы.


На главную страницу. Практические по математике