Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Задача . Вычислить определенные интегралы.

Задача . Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.

Задача. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.

 

Задача. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

 Существуют три способа интегрирования: непосредственное, заменой переменной и по частям.

Непосредственное интегрирование

  Непосредственное интегрирование состоит в том, что подынтегральную функцию путем тождественных преобразований с использованием формул алгебры и тригонометрии, а также используя свойства (3) и (4), сводят к табличным интегралам.

 Рассмотрим несколько примеров.

 Пример 4. .

(использованы свойства 3, 4; табличный интеграл 2, )

Правильность ответа проверяем дифференцированием:

 .

 Пример 5.

.

(свойства 3, 44 табличные интегралы 2.2 и 3).

 Пример 6.

(свойства 3,4; табличные интегралы 1 и 7).

Коэффициенты Ламе

Рассмотрим вектор  - радиус-вектор точки  (рис. 13). Очевидно, что производная  лежит на касательной к годографу вектора , построенному в предположении, что меняется только координата , а координаты  и  остаются неизменными в сторону возрастания координаты . Очевидно, что .

Аналогично .

Выражения   называются коэффициентами Ламе. Так как радиус-вектор точки , то, выполняя дифференцирование, получим

  (4)

Принимая во внимание эти соотношения, нетрудно получить такие выражения для коэффициентов Ламе:

(5)

Примем во внимание соотношения (4) и (5), тогда выражение для ортов криволинейных координат запишутся так:


На главную страницу. Решение задач