Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Пример. Найти объем тела V, ограниченного поверхностями

Геометрические и физические приложения кратных интегралов

Решение.

Найдем проекцию тела на плоскость Оху (при этом заметим, что плоскость   проектируется на эту плоскость в виде прямой

х = 0):

Определим абсциссу точки пересечения кривых у = х2 и х + у = 2:

 посторонний корень. Тогда, используя формулу (18), получаем:

7) Масса тела V плотности γ = γ (x, y, z):

  (19)

8) Моменты инерции тела V относительно координатных осей и начала координат:

 

 

  (20)

 

  (21)

 где γ (х, y, z) – плотность вещества.

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy:

  (22)

9) Координаты центра масс тела:

 

  (23)

 

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ И НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ, ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ

  Если 1)  и  конечны;

2)   непрерывна на  и имеет первообразную , то определенный интеграл выражается конечным числом и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

 . (7)

 Пример 40. .

 Интегралы а) ; б) ; в)

относятся к несобственным интегралам I-го рода, т. к. для них не выполнено условие (1), а именно: один из пределов интегрирования (случая а) и б) ) или оба (случай в) ) не являются конечными, а условие (2) выполнено. Вычисление таких интегралов можно проводить по формуле (7), при этом  считается как предельное значение, которое может быть конечным, бесконечным или не иметь смысла.

 Пример 41. .


На главную страницу. Решение задач