Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Геометрические и физические приложения

Пример. Найти массу поверхности с поверхностной плотностью γ = 2z2 + 3.

Решение.

На рассматриваемой поверхности

  Тогда

Проекцией D этой поверхности на координатную плоскость Оху является полукольцо с границами в виде дуг концентрических окружностей радиусов 3 и 4.

Применяя формулу (47) и переходя к полярным координатам, получим:

8) Моменты поверхности:

  (48) статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz;

  

 (49)

моменты инерции поверхности относительно координатных осей;

   - (50)

моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;

  - (51)

момент инерции поверхности относительно начала координат.

Координаты центра масс поверхности:

 . (52) Кратные, поверхностные и криволинейные интегралы. Формулы Грина, Стокса и Остроградского

Def : Интегральной суммой функции f(x,y) в области P называется , где Pi – площадь фигуры (Pi), (xi, hi) – произвольная точка данной области.

Пусть l – наибольший из диаметров областей (Pi).

Def : Конечный предел I интегральной суммы s при l®0 называется двойным интегралом функции f(x,y) в области P и обозначается .

Двойной интеграл является прямым обобщением понятия простого интеграла на случай функции двух переменных. Физический смысл – объем цилиндрического бруса.

Условие существования двойного интеграла

Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы , где S и s – верхняя и нижняя суммы Дарбу соответственно.

Всякая непрерывная в области P функция f(x,y) интегрируема.

Если ограниченная функция имеет f(x,y) имеет разрывы лишь на конечном числе кривых с площадью 0, то она интегрируема.

Свойства двойного интеграла

Далее всюду предполагается интегрируемость функций f и g на (P).

Существование и величина двойного интеграла не зависят от значений, принимаемых подынтегральной функцией вдоль конечного числа кривых с площадью 0.

Пусть (P) = (P’) + (P’’), тогда .

.

Если f(x,y)£g(x,y) на (P), то .

  (если f интегрируема, то |f| также интегрируема).

Если m £ f(x,y) £ M, то  или найдется такое число m, m £ m £ M, что .


На главную страницу. Решение задач