Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Непосредственное интегрирование.

Пример. Найти .

В простейших примерах применяется метод непосредственного интегрирования, то есть используются свойства и таблицы интегралов. А именно, при помощи тождественных преобразований подынтегрального выражения исходный интеграл сводится к табличному интегралу или к сумме табличных интегралов.

Решение : Положим

a=3e

на основании свойств показательной функции и по таблице интегралов получаем:

Интегрирование по частям.

Пример 2. Найти интеграл:

Решение : Используем метод интегрирования по частям, основанный на следующем свойстве интегралов:

Очевидно, что применять эту формулу имеет смысл только в том случае, если интеграл в правой части проще, чем в левой, например:

Если подынтегральное выражение слева содержит сомножитель

arcsin x, arcos x, arctg x, ln x

то в качестве u(x) выбирают эти функции.

Если подынтегральная функция имеет вид

,

где- многочлен степени “n”.

Тогда в качестве u(x) берут P(x) и интегрируют по частям n раз. В нашем примере подынтегральное выражение имеет вид

,

Где  - многочлен первой степени х.

Итак, мы должны взять

При промежуточном интегрировании постоянную С опускаем.

Затем отыскиваем интеграл в правой части при

  и 

По интегрированию по частям получаем:

.

7. (следствие свойств 6 и 1) Если  и  – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции   на кривой ,  то 

,

где   – длина кривой .

8. (теорема о среднем для криволинейного интеграла I рода) Если функция   непрерывна на кривой , то найдется такая точка , что справедливо равенство

,

где   – длина кривой .

3. Вычисление криволинейного интеграла I рода

Пусть кривая  задана параметрическими уравнениями: 

 ,  (где ). (2)

Если функции ,  имеют на  непрерывные производные, которые не обращаются в нуль одновременно, то кривая  называется гладкой.

Если функции ,  имеют на  кусочно-непрерывные производные, которые не обращаются в нуль одновременно, за исключением конечного числа точек, то кривая   называется кусочно-гладкой.


На главную страницу. Решение задач