Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Замена переменной под знаком интеграла.

Пример 3. Найти: А) ;

 Б) .

Решение: Воспользуемся методом замены переменной. Если

Здесь мы заменили переменную х выражением через t, а dx на.

а) Найдем . Для этого обозначим  через t, тогда

Видим что выражение справа – это часть подынтегрального выражения, то есть

Это пример основан на выделении дифференциала новой переменной. Такой вариант метода замены переменной называют «подведением» под знак дифференциала, то есть при

подынтегральная функция является функцией промежуточной переменной умноженной на дифференциал этой переменной:

Иногда удобнее действовать иначе. В случае:

 б) имеем иррациональную подынтегральную функцию. Чтобы избавиться от этой иррациональности, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. Для того, чтобы перейти к тригонометрическому виду сделаем замену переменной. Положим

.

Стало быть

.

Тогда

.

Для того чтобы избавиться от степени тригонометрической функции, перейдем к двойному углу.

 Имеем

Перейдем обратно к переменной х

Справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Если  – гладкая кривая, заданная уравнениями (2) и функция   непрерывна на ,  то  интегрируема по кривой  и справедливо равенство

 . (3)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

По определению

.

Так как , то  такое, что

.

Следовательно,

.

Найдем  . Пусть  – начало и конец дуги . Если  мала, то можно предполагать, что

.

⇒ .

Но ,

 .

Следовательно, .

Аналогично  и .

Таким образом, 

 . (4)

(Считаем, что . Такое предположение допустимо, поскольку в противном случае будем считать , а для отрезка  тогда получим ).

Итак, получили:

.

Пусть  . По условию кривая   – гладкая. Значит функции ,  на  непрерывны и в силу (4)  при . Следовательно,

.

.  ∎


На главную страницу. Решение задач