Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Интегрирование рациональной функции.

Пример 5. Найти интегралы: А)

 Б)

 В)

Решение: В данном примере найти требуется интегралы от тригонометрических функций. Интегралы вида

,

где R – рациональная функция от и сводятся к интегралу от рациональной функции относительно новой переменной интегрирования с помощью универсальной тригонометрической подстановки , тогда    

В случае А) универсальная тригонометрическая подстановка дает

Но часто универсальная подстановка приводит к громоздким выкладкам, поэтому, где удается, применяют другие подстановки

Случай Б) как раз относится к третьему типу, а именно подынтегральная функция четна как относительно , так и относительно . Положив  получим  и  и заменив  по известной тригонометрической формуле

Случай В) относится к первому типу, а именно подынтегральная функция нечетна относительно синуса. Положив  и заменив  на , получим

СЛЕДСТВИЕ  3. Пусть  – плоская кривая, заданная в полярных координатах уравнением   (где ). Если функция  непрерывно дифференцируема на   и функция  непрерывна на , то  интегрируема по кривой  и справедливо равенство

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

Подсказка: записать параметрические уравнения кривой, используя формулы перехода от полярных координат к декартовым и считая  – параметром.

В заключение этого пункта сформулируем теорему, которая очевидным образом следует из теорем 1 – 3.

ТЕОРЕМА 4 (достаточные условия существования криволинейного интеграла I рода). Если  – кусочно-гладкая кривая и функция  кусочно-непрерывна на , то  интегрируема по кривой .


На главную страницу. Решение задач