Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Следующая задача посвящена вычислению определённого интеграла, например:

Пример 1. Вычислить определенный интеграл 

Решение: Определенный интеграл от любой непрерывный функции f(x) вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница

где F(x) – первообразная для f(x).

Геометрически определенный интеграл  представляет собой при  площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), осью ox и прямыми x=a и x=b.

Проинтегрируем сначала соответствующий неопределенный интеграл по частям, положив u=x, dv=sin x dx.

И по формуле Ньютона-Лейбница получим:

Пример 2. Найти

Решение: Находя первообразную с помощью замены переменной при вычислении определенного интеграла, не следует забывать, что, изменив переменную, придется изменить и ее пределы интегрирования.

Обозначим , тогда , , но при x=0, t=0, а при x=4, t=2. Следовательно, в новом интеграле, относительно переменной t изменяются пределы интегрирования:

но так как dt=d(t+1)

Геометрические  и физические приложения криволинейных интегралов I рода

Длина   спрямляемой кривой  может быть найдена по формуле

.

Пусть   – цилиндрическая поверхность, образующей которой является кривая . Тогда площадь  части поверхности , заключенной между плоскостью  и поверхностью , может быть найдена по формуле

.

(доказательство – самостоятельно)

Пусть   – материальная спрямляемая кривая в пространстве  с плотностью . Тогда справедливы следующие формулы:

  – масса кривой .

Статические моменты кривой  относительно плоскостей  и  равны соответственно:

.

 – координаты центра тяжести кривой .

Моменты инерции кривой  относительно осей ,  и  равны соответственно:

,

,

.

 – момент инерции кривой  относительно начала координат.


На главную страницу. Решение задач