Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Далее разберём задачу о вычислении несобственных интегралов.

Определённый интеграл, который рассматривался в предыдущей задаче, вычисляется при двух предположениях:

отрезок интегрирования [a,b] конечен

подынтегральная функция на этом отрезке непрерывна

При таких предположениях интеграл называется собственным интегралом. В том случае, если отрезок интегрирования бесконечен или конечен, но подынтегральная функция на этом отрезке терпит разрыв, интеграл называется несобственным интегралом.

Несобственный интеграл с бесконечными пределами.

Пусть функция f(x) в промежутке  непрерывна. Интегралом от f(x) в пределах между  называется предел интеграла, взятого от , т.е.

Это несобственный интеграл.

Если конечный предел в правой части существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а функция f(x)- интегрируемой на . Если этот предел бесконечен или не существует, то интеграл называется расходящимся.

Интеграл  

  для любого a.

Пример 1. Вычислить

а) p¹1

Объём цилиндрического тела.

Двойной интеграл.

Пусть в некоторой замкнутой области D плоскости хОу определена ограниченная функция z = f(x,у), причём f(x,y)>0. К определению двойного интеграла приходим, вычисляя объём фигуры, основание которой - область D; сверху фигура ограничена поверхностью, уравнение которой z=f(x,y) боковая поверхность - цилиндрическая, образованная прохождением прямой, параллельной оси Oz вдоль границы L области D. Такая фигура называется цилиндрическим телом (рисунок 1).

Рисунок 1. Цилиндрическое тело

Объём цилиндрического тела можно вычислить приближённо, заменив его ступенчатой фигурой следующим образом.

1. Область D произвольным образом разбивается на конечное число п элементарных областей (ячеек) D1, D2,..., Dn, площади которых обозначим соответственно ΔS, ΔS2 ,..., ΔSn. Диаметром ячейки называют наибольшее расстояние между двумя точками на её границе и обозначают diamDi.

Выберем в каждой ячейке Di произвольную точку и вычислим в ней значение. Составим сумму вида:

Каждое  слагаемое в сумме вычисляет объём прямого цилиндра с основанием Di и высотой .

Сумма (1) называется интегральной уммой для функции f(x,y) по области D. Предел интегральной суммы (1) при max diamDi→0 (n→∞) называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D:

В обозначении двойного интеграла D-область интегрирования f(x,y) - подынтегральная функция, dS-дифференциал площади, который можно заменить произведением дифференциалов независимых переменных dxdy.

Формула (2) позволяет вычислить объём цилиндри-ческого тела при f(x,y)>0, в чём и заключается геометрический смысл двойного интеграла.

В общем случае, если функция f(x, у) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл существует (существует предел интегральной суммы (2)) и не зависит от способа разбиения области D на частичные и от выбора точек   в них.


На главную страницу. Решение задач