Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Пример.  Вычислим несобственный интеграл

 или покажем, что он расходится.

 Решение: Найдем неопределённый интеграл

Итак, предел существует, значит, несобственный интеграл I сходится и равен 

Интеграл 2-го рода.

Если в интеграле  функция f(x) неограниченно возрастает, то есть  когда x приближается к одному из пределов интегрирования. Когда это происходит при x®a, то .

Если подынтегральная функция перестаёт быть ограниченной внутри отрезка интегрирования, например в точке с то эту точку вырезают:

Пример 3. Вычислим 

Решение: Когда x®2 подынтегральная функция . Точка x=2 особая.

То есть интеграл расходящийся.

3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Область D называется правильной относительно оси Ох, если прямая, параллельная этой оси, проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает границу области в двух точках. Аналогично определяется правильная область относительно оси Оу.

 Рисунок 2. Рисунок 3.

Рисунок 2 - Область, правильная, относительно оси Оу Рисунок 3 - Область, правильная, относительно оси Ох

Область D, правильную относительно как Ох, так и Оу, называют просто правильной областью.

Если область D - правильная относительно Оу (рисунок 2), двойной интеграл вычисляется по формуле:

Правую часть формулы (8) называют повторным (двукратным) интегралом. Вычисление повторного  интеграла начинаем с вычисления внутреннего интеграла.

в  котором переменную х надо принять при интегрировании за постоянную величину. После  подстановки пределов интегрирования в первообразную получаем некоторую функцию, зависящую от х, которую затем интегрируем на отрезке [a,b].

Если область D является правильной относительно оси Ох (рисунок 3), двойной интеграл вычисляется по формуле:

Если область D - просто правильная, можно применять как формулу (8), так и формулу (9). При этом переход от одной формулы к другой называют изменением порядка интегрирования.

Сам процесс перехода от двойного интеграла к повторному и расстановка пределов интегрирования для внешнего и внутреннего интегралов называют приведением двойного интеграла к повторному.


На главную страницу. Решение задач