Разберём задачу вычислении приближённого значения определённых интегралов по формуле Симпсона.
Рассмотрим пример.
Вычислить приближенное значение определенного
интеграла 
с помощью формулы Симпсона, положив
n=4.
Формула Симпсона приближенного интегрирования позволяет численно
определить значение интеграла без нахождения первообразной. Для этого достаточно
вычислить значение функции в n=4 точках, полученных в результате разбиения отрезка
на n отрезков (n – четное число)
шаг разбиения 
значение подынтегральной функции на концах
отрезков.
Составим таблицу:
| K |
|
|
|
| 0 | 0 | 0,00 |
|
| 1 | 0,4 | 0,16 |
|
| 2 | 0,8 | 0,64 |
|
| 3 | 1,2 | 1,44 |
|
| 4 | 1,6 | 2,56 |
|
Формула Симпсона
Подставив в эту формулу конкретные значения, получим
Вычислять интегралы приближённо можно не только при помощи метода Симпсона, но и других методов. Подробнее об этих методах можно прочитать в[1] гл. XIII ,[4] гл.11 пр.8
Решите самостоятельно задачу:
Найдите число 
, пользуясь интегралом 
Все следующие задачи будут относиться к функциям нескольких переменных. Переменные x,y,z,t… называются независимыми между собой, если каждая из них может принимать любые значения в своей области изменения, независимо от того, какие значения принимают при этом остальные переменные. Переменная величина U называется функцией независимых переменных, если каждой совокупности значений этих переменных в области их изменения соответствует единственное определённое значение и: u=f(x,y,z,…t)
Областью определения функции f(x,y…t) называется совокупность значений независимых переменных x,y…t , при которых функция определена.
Частные приращения функции
Если u=f(x,y,z) и одна из
независимых переменных, например x , получила приращение 
,
то частным приращением 
функции
называется 
Аналогично для y и для z или любой другой переменной в случае большего числа переменных.
Частные производные
Составим отношение 
Если при стремлении 
это отношение стремится к определённому пределу, то этот
предел называется частной производной функции U по независимой переменной X обозначается
Таким образом 
Аналогично 
и т.д.
2. Основные свойства и приложения двойного интеграла
1. Линейные свойства двойного интеграла:
2. Если область D разделена на несколько частей D1, D2,...,Dk без общих внутренних точек, то
3. Если функция f(x, у) непрерывна в замкнутой области D, то в этой области найдётся такая точка (хо,уо), что
где SD - площадь области D (теорема о среднем).
4. Если m, М - наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции f(x,y) в области D, то справед-ливо двойное неравенство (оценка двойного интеграла):
где SD - площадь области D (теорема о среднем).
С помощью двойных интегралов можно вычислить следующие величины. Площадь плоской фигуры D:
Если D - плоская пластинка с поверхностной плотностью μ(х,у), то по следующим формулам определяются:
а) масса пластинки
б) статические моменты пластинки относительно осей Ох и Оу:
в) координаты центра масс пластинки:
г) моменты инерции пластинки D относительно осей координат и начала координат:
