Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Разберём задачу вычислении приближённого значения определённых интегралов по формуле Симпсона.

Рассмотрим пример.

 Вычислить приближенное значение определенного интеграла  с помощью формулы Симпсона, положив n=4.

Формула Симпсона приближенного интегрирования позволяет численно определить значение интеграла без нахождения первообразной. Для этого достаточно вычислить значение функции в n=4 точках, полученных в результате разбиения отрезка  на n отрезков (n – четное число)  шаг разбиения    значение подынтегральной функции на концах отрезков.

Составим таблицу:

K

0

0

0,00

1

0,4

0,16

2

0,8

0,64

3

1,2

1,44

4

1,6

2,56

Формула Симпсона

Подставив в эту формулу конкретные значения, получим

Вычислять интегралы приближённо можно не только при помощи метода Симпсона, но и других методов. Подробнее об этих методах можно прочитать в[1] гл. XIII ,[4] гл.11 пр.8 

Решите самостоятельно задачу:

Найдите число  , пользуясь интегралом

 

 

Все следующие задачи будут относиться к функциям нескольких переменных. Переменные x,y,z,t… называются независимыми между собой, если каждая из них может принимать любые значения в своей области изменения, независимо от того, какие значения принимают при этом остальные переменные. Переменная величина U называется функцией независимых переменных, если каждой совокупности значений этих переменных в области их изменения соответствует единственное определённое значение и: u=f(x,y,z,…t)

Областью определения функции f(x,y…t) называется совокупность значений независимых переменных x,y…t , при которых функция определена.

Частные приращения функции

Если u=f(x,y,z) и одна из независимых переменных, например x , получила приращение , то частным приращением  функции называется

Аналогично для y и для z или любой другой переменной в случае большего числа переменных.

Частные производные

Составим отношение  Если при стремлении  это отношение стремится к определённому пределу, то этот предел называется частной производной функции U по независимой переменной X обозначается  Таким образом   Аналогично  и т.д.

2. Основные свойства и приложения двойного интеграла

1. Линейные свойства двойного интеграла:

2. Если область D разделена на несколько частей D1, D2,...,Dk без общих внутренних точек, то

3. Если функция f(x, у) непрерывна в замкнутой области D, то в этой области найдётся такая точка (хо,уо), что

где SD - площадь области D (теорема о среднем).

4. Если m, М - наименьшее  и наибольшее значения непрерывной функции f(x,y) в области D, то справед-ливо двойное неравенство (оценка двойного интеграла):

где SD - площадь области D (теорема о среднем).

С помощью двойных интегралов можно вычислить следующие величины. Площадь плоской фигуры D:

  Если D - плоская пластинка с поверхностной плотностью μ(х,у), то по следующим формулам определяются:

а) масса пластинки

б) статические моменты пластинки относительно осей Ох и Оу:


в) координаты центра масс пластинки:

г) моменты инерции пластинки D относительно осей координат и начала координат:


На главную страницу. Решение задач