Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Вычисление частных производных функции нескольких независимых переменных

производится по тем же правилам, по которым вычисляются производные функции одной независимой переменной, следует лишь считать постоянными все независимые переменные, кроме той, по которой вычисляется частная производная.

Пример Дана функция двух переменных . Найти все частные производные первого и второго порядков.

 Решение : Частные производные от функции нескольких переменных по одной из переменных находятся в предположении, что другие переменные являются постоянными величинами. Таким образом, функция нескольких переменных становится обычной функцией одной переменной, к которой применяются все известные правила дифференцирования функции одной переменной.

Требуется найти  Положим

Находим производную функции  по переменной :

Полагая , находим первую производную функции

   по переменной y:

Теперь найдем производные второго порядка. Возьмем первую производную по   , считая  постоянным, продифференцируем еще раз по .

Получим . Если, считая x постоянным, мы продифференцируем  ещё раз, но уже по y, то получим

.

Теперь возьмем первую производную по  и считая x постоянным, продифференцируем   еще раз по y. Мы получим

.

Если мы, взяв , и считая y постоянным, продифференцируем  еще раз, но по переменной x получим

.

Обратим внимание, что ; это равенство справедливо при условии непрерывности данных производных.

Рассмотрим двустороннюю поверхность (S), гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух ее сторон (это равносильно выбору на поверхности определенной ориентации). Предположим, что поверхность задана явным уравнением z=z(x,y) на области (D). Тогда выбор возможен между верхней и нижней сторонами поверхности. В первом случае замкнутой кривой на поверхности приписывается направление против часовой стрелки, если смотреть сверху, в втором – обратное направление. Направление обхода контура проецируемой фигуры определяет направление обхода контура проекции. Направление это совпадает с вращением против часовой стрелки (т.е. отвечает ориентации самой плоскости ху), если фиксирована была верхняя сторона поверхности (S) – тогда площадь проекции берем со знаком плюс. В случае нижней стороны вращение будет обратным – площадь проекции берется со знаком минус.

Составим интегральную сумму так: , где Di – площадь проекции на плоскость ху элемента (Si), снабженная знаком по указанному выше правилу. Пусть l – наибольший из диаметров поверхностей (Si).

Def : Конечный предел I интегральной суммы s при l®0 называется поверхностным интегралом второго типа от f(x,y,z)dxdy, распространенным на выбранную сторонцу поверхности S, и обозначается (dxdy говорит о площади проекции элемента поверхности на плоскость ху). Если вместо плоскости ху проекцировать элементы поверхности на плоскость yz или zx, то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

или . Часто использую соединение интегралов всех этих видов:

, где P,Q,R – функции от (x,y,z), определенные в точках поверхности (S).

NB!!! Во всех случаях поверхность (S) предполагается двусторонней и интеграл распростроняется на определенную ее сторону.

Криволинейные интегралы

Аналогичны поверхностным интегралам, только рассматривается не поверхность, а кривая. первого рода


На главную страницу. Решение задач