Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Продолжим рассмотрение функции нескольких переменных.

Полное приращение функции определяется по формуле: где - приращения независимых переменных. По определению приращения независимых переменных  и их дифференциалы dx, dy, dz – числа равные между собой.

. Полный дифференциал функции

(То есть в случае функции двух переменных).Полный дифференциал функции есть главная часть её приращения, линейная относительно , то есть или же  для функции трёх переменных или  для функции двух переменных. Подробнее  (*)

где .

Подробнее о дифференциале функции нескольких переменных можно прочесть в [4] гл.8 или в [1] гл.15

Пример 1. Даны функции  и точка М(1,02;2,05). С помощью полного дифференциала вычислить приближенное значение функции в точке М и оценить относительную погрешность.

Решение: Приближенное значение некоторой функции f(x,y) в точке (x,y) с помощью полного дифференциала находится по формуле (*)

,

где , значение функции f(x,y) в точке .

Точка подбирается таким образом, чтобы легко вычислялось; , приращение функции f(x,y) в точке по переменным x и y соответственно.

В качестве точки возьмем точку N(1,2), так как значение x и y в точке N целые и точка N близка к данной точке M.

Тогда

в точке

в точке

Вычислим точное значение

Итак, принимая вместо точного значения 3,9979 значение , мы допускаем абсолютную погрешность  или относительную погрешность

Def : Интегральной суммой функции f(x,y) в области P называется , где si – длина дуги кривой (К).

l=max(si­­).

Def : Конечный предел I интегральной суммы s при l®0 называется криволинейным интегралом первого типа функции f(x,y) на кривой (К) и обозначается , где s говорит о длине дуги ds кривой (К). Аналогично можно распростронить это понятие на пространственную кривую: .

Пусть в трехмерном пространстве задана спрямляемая ориентированная кривая g, r(s)={x(s), y(s), z(s); 0£s£S} - ее представление, где за параметр взята переменная длина дуги s, A = r(0) и B = r(S) - начальная и конечная точки этой кривой.

Криволинейный интеграл первого рода от функции F по кривой AB можно свести к обыкновенному:

.

второго рода

Сумма строится так же, только значение в точке умножается не на длину дуги, а на длину ее проекции. Как и в случае с поверхностным интегралом, определяем направление кривой.

Def : Конечный предел I интегральной суммы s при l®0 называется криволинейным интегралом второго типа функции f(x,y)dx, взятым по кривой или пути (АВ), и обозначается .

Важно направление кривой: .

Интеграл для пространственной кривой: .

Интеграл общего вида:


На главную страницу. Решение задач