Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Следующая задача об экстремумах функций двух переменных и об отыскании наибольших и наименьших значений функции двух независимых переменных.

Функция ограниченная и дифференцируемая в замкнутой области достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значения или во внутренних точках этой области, которые являются точками стационарности функции или на её границе. Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, надо:

Найти стационарные точки функции, для чего следует решить систему уравнений

Вычислить в стационарных точках значения функции

Найти наибольшие и наименьшее значение функции на каждой линии, ограничивающей область;

Сравнить все полученные значения. Наибольшее из них будет наибольшим, а наименьшее – наименьшим значением функции в замкнутой области.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  в ограниченной замкнутой области D: 

Решение: Точка  являются точкой экстремума (максимума или минимума) функции z=f(x,y), если значение функции в этой точке соответственно больше или меньше значений, принимаемых ее в некоторой окрестности точки , то есть при всех x и y достаточно близких к и . Точка P, координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции f(x,y) называются стационарной точкой этой функции.

Найдем стационарные точки функции z(x,y)

 

Стационарная точка y функции z одна. Это точка 0.

Входит ли точка (0,0) в область D? Построим эту область.

-  - парабола с вершиной в точке (0,-4). Точки пересечения с осью x: , ,

- y=0 – ось x.

Точка (0,0) входит в область D. Установим, является ли стационарная точка 0 точкой экстремума. Это делается так: Пусть  стационарная точка функции z=f(x,y). Вычислим в этой точке

. .

Если , то функция f(x,y) имеет в точке экстремум:

max-при A<0 и min при A>0.

Если , то точка не является точкой экстремума.

Если , то требуется дополнительное исследование.

Исследуем нашу функцию z по формулам.

3. 

, точка (0,0) не является точкой экстремума.

4. Исследуем поведение функции на границе.

Так как Z не имеет ни max ни min, ее наибольшим и наименьшем значением является наибольшее и наименьшее из значений, принимаемых на границе.

  Для того, чтобы найти наибольшее или наименьшее из значений, принимаемых на границе.

4а. Рассмотрим верхнюю границу y=1. На ней функция Z(x,1) превращается в  

 в этой точке возможен экстремум. Знак производной меняется с – на +, то есть в точке  - минимум z =-2.25

при  

В точке

4б. Рассмотрим нижнюю границу

В точке  производная меняет знак с - на +, следовательно, это точка минимума

В точке  производная меняет знак с + на -, следовательно, это точка максимума . При  функция z уже вычислялось. Видим, что от функция убывает до , затем возрастает до  а затем убывает до .

То есть наименьшее значение для всей границы , а наибольшее

Ответ: Наибольшее значение функции z в замкнутой области D , наименьшее .

Формула Грина

Связывает двойной и криволинейный интегралы.

Пусть G - плоская область и ее граница L является кусочно-гладким контуром. Пусть в замкнутой области  заданы функции P(x,y), Q(x,y), непрерывные на  вместе со своими частными производными. Тогда справедлива формула .

Формула Стокса

Пусть S простая гладкая двусторонняя поверхность, ограниченная кусочно-гладким контуром L. Формула Стокса: . Или если заменить поверхностный интеграл второго рода на поверхностный интеграл первого рода, то получим , где cosa, cosb, cosg означают направляющие косинусы нормали, отвечающей выбранной стороне поверхности.

Полагая , эту формулу можно переписать так: , т.е. циркуляция векторного поля по контуру L равна потоку вихря этого поля через поверхность S, ограниченную контуром L.


Смотрите otsosspb.com проститутки Бухарестская.
Роза в стекле купить на сайте roselive.ru.
На сайте star-oil.ru масла rowe.
Проститутки Горелово читать далее.

На главную страницу. Решение задач