Примеры решения задач по алгебре Понятие комплексного числа Исследовать систему уравнений Дифференциальные уравнения Предел последовательности Вычисление производной

Контрольная работа по математике. Примеры выполнения заданий

Следующая задача посвящена нахождению вектора – градиента

для функции нескольких переменных.

вектор-градиент обозначается grad u или Ñu.

Пример 1. Даны функция трех переменных , вектор  и точка .

Найти: 1) Grad u в точке M0;

 2) производную в точке M0 по направлению вектора ;

  3) наибольшую крутизну поверхности u в точке M0.

Решение: 

1) Вектором градиентом функции трех переменных u(x,y,z) является вектор
grad   (или  в случае двух переменных)

Найдем частные произведения функции u:

Из определения градиента следует, что эти частные производные являются проекциями вектора-градиента на оси координат. Вычислим значения частных производных в точке Mo.

Следовательно вектор-градиент в точке M0 имеет вид:

2) Производная по направлению вектора вычисляется по формуле , то есть равна скалярному произведению вектора градиента на единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором .

Так как , то его длина  и, следовательно, единичный вектор, совпадающий по направлению с , , используя формулу скалярного произведения в координатной форме , получим

Итак производная функции u по направлению вектора  равна .

3) Поскольку |grad u| есть наибольшее значение производной  в данной точке P, а направление grad u совпадает с направлением луча, выходящего из точки P, вдоль которого функция меняется быстрее всего, то направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции u(x,y,z)

|grad u| = .

Формула Остроградского

Аналог формулы Грина для тройных интегралов.

Пусть тело V ограничено кусочно-гладкой поверхностью S, тогда , или, если заменить поверхностный интеграл второго рода на поверхностный интеграл первого рода, .

Полагая , эту формулу можно переписать в виде

т.е. интеграл по области от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через поверхность, ограничивающую данную область.

NB! Формулы Грина, Стокса и Остроградского объединены одной идеей: они выражают интеграл, распространенный на некоторый геометрический образ, через интеграл, взятый по границе этого образа. При этом формула Грина относится к случаю двумерного пространства, формула Стокса – к случаю двумерного «кривого» пространства, а формула Остроградского – к случаю трехмерного пространства.

На основную формулу интегрального исчисления  можно смотреть как на некоторый аналог этих формул для одномерного пространства.


На главную страницу. Решение задач